Электрическая схема, предназначенная для выполнения какой-либо логической операции с входными данными, называется логическим элементом. Входные данные представляются здесь в виде напряжений различных уровней, и результат логической операции на выходе - также получается в виде напряжения определенного уровня.

Операнды в данном случае подаются - на вход логического элемента поступают сигналы в форме напряжения высокого или низкого уровня, которые и служат по сути входными данными. Так, напряжение высокого уровня - это логическая единица 1 - обозначает истинное значение операнда, а напряжение низкого уровня 0 - значение ложное. 1 - ИСТИНА, 0 - ЛОЖЬ.

Логический элемент - элемент, осуществляющий определенные логические зависимость между входными и выходными сигналами. Логические элементы обычно используются для построения логических схем вычислительных машин, дискретных схем автоматического контроля и управления. Для всех видов логических элементов, независимо от их физической природы, характерны дискретные значения входных и выходных сигналов.

Логические элементы имеют один или несколько входов и один или два (обычно инверсных друг другу) выхода. Значения «нулей» и «единиц» выходных сигналов логических элементов определяются логической функцией, которую выполняет элемент, и значениями «нулей» и «единиц» входных сигналов, играющих роль независимых переменных. Существуют элементарные логические функции, из которых можно составить любую сложную логическую функцию.

В зависимости от устройства схемы элемента, от ее электрических параметров, логические уровни (высокие и низкие уровни напряжения) входа и выхода имеют одинаковые значения для высокого и низкого (истинного и ложного) состояний.

Традиционно логические элементы выпускаются в виде специальных радиодеталей - интегральных микросхем. Логические операции, такие как конъюнкция, дизъюнкция, отрицание и сложение по модулю (И, ИЛИ, НЕ, исключающее ИЛИ) - являются основными операциями, выполняемыми на логических элементах основных типов. Далее рассмотрим каждый из этих типов логических элементов более внимательно.

Логический элемент «И» - конъюнкция, логическое умножение, AND

«И» - логический элемент, выполняющий над входными данными операцию конъюнкции или логического умножения. Данный элемент может иметь от 2 до 8 (наиболее распространены в производстве элементы «И» с 2, 3, 4 и 8 входами) входов и один выход.

Условные обозначения логических элементов «И» с разным количеством входов приведены на рисунке. В тексте логический элемент «И» с тем или иным числом входов обозначается как «2И», «4И» и т. д. - элемент «И» с двумя входами, с четырьмя входами и т. д.

Таблица истинности для элемента 2И показывает, что на выходе элемента будет логическая единица лишь в том случае, если логические единицы будут одновременно на первом входе И на втором входе. В остальных трех возможных случаях на выходе будет ноль.

На западных схемах значок элемента «И» имеет прямую черту на входе и закругление на выходе. На отечественных схемах - прямоугольник с символом «&».

Логический элемент «ИЛИ» - дизъюнкция, логическое сложение, OR

«ИЛИ» - логический элемент, выполняющий над входными данными операцию дизъюнкции или логического сложения. Он так же как и элемент «И» выпускается с двумя, тремя, четырьмя и т. д. входами и с одним выходом. Условные обозначения логических элементов «ИЛИ» с различным количеством входов показаны на рисунке. Обозначаются данные элементы так: 2ИЛИ, 3ИЛИ, 4ИЛИ и т. д.

Таблица истинности для элемента «2ИЛИ» показывает, что для появления на выходе логической единицы, достаточно чтобы логическая единица была на первом входе ИЛИ на втором входе. Если логические единицы будут сразу на двух входах, на выходе также будет единица.

На западных схемах значок элемента «ИЛИ» имеет закругление на входе и закругление с заострением на выходе. На отечественных схемах - прямоугольник с символом «1».

Логический элемент «НЕ» - отрицание, инвертор, NOT

«НЕ» - логический элемент, выполняющий над входными данными операцию логического отрицания. Данный элемент, имеющий один выход и только один вход, называют еще инвертором, поскольку он на самом деле инвертирует (обращает) входной сигнал. На рисунке приведено условное обозначение логического элемента «НЕ».

Таблица истинности для инвертора показывает, что высокий потенциал на входе даёт низкий потенциал на выходе и наоборот.

На западных схемах значок элемента «НЕ» имеет форму треугольника с кружочком на выходе. На отечественных схемах - прямоугольник с символом «1», с кружком на выходе.

Логический элемент «И-НЕ» - конъюнкция (логическое умножение) с отрицанием, NAND

«И-НЕ» - логический элемент, выполняющий над входными данными операцию логического сложения, и затем операцию логического отрицания, результат подается на выход. Другими словами, это в принципе элемент «И», дополненный элементом «НЕ». На рисунке приведено условное обозначение логического элемента «2И-НЕ».

Таблица истинности для элемента «И-НЕ» противоположна таблице для элемента «И». Вместо трех нулей и единицы - три единицы и ноль. Элемент «И-НЕ» называют еще «элемент Шеффера» в честь математика Генри Мориса Шеффера, впервые отметившего значимость этой в 1913 году. Обозначается как «И», только с кружочком на выходе.

Логический элемент «ИЛИ-НЕ» - дизъюнкция (логическое сложение) с отрицанием, NOR

«ИЛИ-НЕ» - логический элемент, выполняющий над входными данными операцию логического сложения, и затем операцию логического отрицания, результат подается на выход. Иначе говоря, это элемент «ИЛИ», дополненный элементом «НЕ» - инвертором. На рисунке приведено условное обозначение логического элемента «2ИЛИ-НЕ».

Таблица истинности для элемента «ИЛИ-НЕ» противоположна таблице для элемента «ИЛИ». Высокий потенциал на выходе получается лишь в одном случае - на оба входа подаются одновременно низкие потенциалы. Обозначается как «ИЛИ», только с кружочком на выходе, обозначающим инверсию.

Логический элемент «исключающее ИЛИ» - сложение по модулю 2, XOR

«исключающее ИЛИ» - логический элемент, выполняющий над входными данными операцию логического сложения по модулю 2, имеет два входа и один выход. Часто данные элементы применяют в схемах контроля. На рисунке приведено условное обозначение данного элемента.

Изображение в западных схемах - как у «ИЛИ» с дополнительной изогнутой полоской на стороне входа, в отечественной - как «ИЛИ», только вместо «1» будет написано «=1».

Этот логический элемент еще называют «неравнозначность». Высокий уровень напряжения будет на выходе лишь тогда, когда сигналы на входе не равны (на одном единица, на другом ноль или на одном ноль, а на другом единица) если даже на входе будут одновременно две единицы, на выходе будет ноль - в этом отличие от «ИЛИ». Данные элементы логики широко применяются в сумматорах.

В этой статье я расскажу вам о том, как работают битовые операции. С первого взгляда они могут показаться вам чем-то сложным и бесполезным, но на самом деле это совсем не так. В этом я и попытаюсь вас убедить.

Введение

Побитовые операторы проводят операции непосредственно на битах числа, поэтому числа в примерах будут в двоичной системе счисления.

Я расскажу о следующих побитовых операторах:

• | (Побитовое ИЛИ (OR)),
• & (Побитовое И (AND)),
• ^ (Исключающее ИЛИ (XOR)),
• ~ (Побитовое отрицание (NOT)),
• << (Побитовый сдвиг влево),
• >> (Побитовый сдвиг вправо).

Битовые операции изучаются в дискретной математике, а также лежат в основе цифровой техники, так как на них основана логика работы логических вентилей - базовых элементов цифровых схем. В дискретной математике, как и в цифровой технике, для описания их работы используются таблицы истинности. Таблицы истинности, как мне кажется, значительно облегчают понимание битовых операций, поэтому я приведу их в этой статье. Их, тем не менее, почти не используют в объяснениях побитовых операторов высокоуровневых языков программирования.

О битовых операторах вам также необходимо знать:

1. Некоторые побитовые операторы похожи на операторы, с которыми вы наверняка знакомы (&&, ||). Это потому, что они на самом деле в чем-то похожи. Тем не менее, путать их ни в коем случае нельзя.
2. Большинство битовых операций являются операциями составного присваивания.

Побитовое ИЛИ (OR)

Побитовое ИЛИ действует эквивалентно логическому ИЛИ, но примененному к каждой паре битов двоичного числа. Двоичный разряд результата равен 0 только тогда, когда оба соответствующих бита в равны 0. Во всех других случаях двоичный результат равен 1. То есть, если у нас есть следующая таблица истинности:

38 | 53 будет таким:

A	0	0	1	0	0	1	1	0
B	0	0	1	1	0	1	0	1
A | B	0	0	1	1	0	1	1	1

В итоге мы получаем 110111 2 , или 55 10 .

Побитовое И (AND)

Побитовое И - это что-то вроде операции, противоположной побитовому ИЛИ. Двоичный разряд результата равен 1 только тогда, когда оба соответствующих бита операндов равны 1. Другими словами, можно сказать, двоичные разряды получившегося числа - это результат умножения соответствующих битов операнда: 1х1 = 1, 1х0 = 0. Побитовому И соответствует следующая таблица истинности:

Пример работы побитового И на выражении 38 & 53:

A	0	0	1	0	0	1	1	0
B	0	0	1	1	0	1	0	1
A & B	0	0	1	0	0	1	0	0

Как результат, получаем 100100 2 , или 36 10 .

С помощью побитового оператора И можно проверить, является ли число четным или нечетным. Для целых чисел, если младший бит равен 1, то число нечетное (основываясь на преобразовании двоичных чисел в десятичные). Зачем это нужно, если можно просто использовать %2 ? На моем компьютере, например, &1 выполняется на 66% быстрее. Довольно неплохое повышение производительности, скажу я вам.

Исключающее ИЛИ (XOR)

Разница между исключающим ИЛИ и побитовым ИЛИ в том, что для получения 1 только один бит в паре может быть 1:

Например, выражение 138^43 будет равно…

A	1	0	0	0	1	0	1	0
B	0	0	1	0	1	0	1	1
A ^ B	1	0	1	0	0	0	0	1

… 10100001 2 , или 160 10

С помощью ^ можно поменять значения двух переменных (имеющих одинаковый тип данных) без использования временной переменной.

Также с помощью исключающего ИЛИ можно зашифровать текст. Для этого нужно лишь итерировать через все символы, и ^ их с символом-ключом. Для более сложного шифра можно использовать строку символов:

String msg = "This is a message"; char message = msg.toCharArray(); String key = ".*)"; String encryptedString = new String(); for(int i = 0; i< message.length; i++){ encryptedString += message[i]^key.toCharArray(); }

Исключающее ИЛИ не самый надежный способ шифровки, но его можно сделать частью шифровального алгоритма.

Побитовое отрицание (NOT)

Побитовое отрицание инвертирует все биты операнда. То есть, то что было 1 станет 0, и наоборот.

Вот, например, операция ~52:

A	0	0	1	1	0	1	0	0
~A	1	1	0	0	1	0	1	1

Результатом будет 203 10

При использовании побитового отрицания знак результата всегда будет противоположен знаку исходного числа (при работе со знаковыми числами). Почему так происходит, узнаете прямо сейчас.

Дополнительный код

Здесь мне стоит рассказать вам немного о способе представления отрицательных целых чисел в ЭВМ, а именно о дополнительном коде (two’s complement). Не вдаваясь в подробности, он нужен для облегчения арифметики двоичных чисел.

Главное, что вам нужно знать о числах, записанных в дополнительном коде - это то, что старший разряд является знаковым. Если он равен 0, то число положительное и совпадает с представлением этого числа в прямом коде, а если 1 - то оно отрицательное. То есть, 10111101 - отрицательное число, а 01000011 - положительное.

Чтобы преобразовать отрицательное число в дополнительный код, нужно инвертировать все биты числа (то есть, по сути, использовать побитовое отрицание) и добавить к результату 1.

Например, если мы имеем 109:

A	0	1	1	0	1	1	0	1
~A	1	0	0	1	0	0	1	0
~A+1	1	0	0	1	0	0	1	1

Представленным выше методом мы получаем -109 в дополнительном коде.
Только что было представлено очень упрощенное объяснение дополнительного кода, и я настоятельно советую вам детальнее изучить эту тему.

Побитовый сдвиг влево

Побитовые сдвиги немного отличаются от рассмотренных ранее битовых операций. Побитовый сдвиг влево сдвигает биты своего операнда на N количество битов влево, начиная с младшего бита. Пустые места после сдвига заполняются нулями. Происходит это так:

A	1	0	1	1	0	1	0	0
A<<2	1	1	0	1	0	0	0	0

Интересной особенностью сдвига влево на N позиций является то, что это эквивалентно умножению числа на 2 N . Таким образом, 43<<4 == 43*Math.pow(2,4) . Использование сдвига влево вместо Math.pow обеспечит неплохой прирост производительности.

Побитовый сдвиг вправо

Как вы могли догадаться, >> сдвигает биты операнда на обозначенное количество битов вправо.

Если операнд положительный, то пустые места заполняются нулями. Если же изначально мы работаем с отрицательным числом, то все пустые места слева заполняются единицами. Это делается для сохранения знака в соответствии с дополнительным кодом, объясненным ранее.

Так как побитовый сдвиг вправо - это операция, противоположная побитовому сдвигу влево, несложно догадаться, что сдвиг числа вправо на N количество позиций также делит это число на 2 N . Опять же, это выполняется намного быстрее обычного деления.

Вывод

Итак, теперь вы знаете больше о битовых операциях и не боитесь их. Могу предположить, что вы не будете использовать >>1 при каждом делении на 2. Тем не менее, битовые операции неплохо иметь в своем арсенале, и теперь вы сможете воспользоваться ими в случае надобности или же ответить на каверзный вопрос на собеседовании.

На практике наиболее часто используют двухвходовые элементы «исключающее ИЛИ. На рис. 1 показано условное графическое обозначение элемента без инверсии и его таблица состояний. По простому, суть данного элемента сводится к следующему, сигнал на выходе появляется только в том случае, когда логические уровни на входах не одинаковые.

Схема выделения фронта и среза импульса

В данной схеме три элемента «Исключающий ИЛИ» используются для задержки импульсов. DD1.4 — суммирующий. Выходные импульсы имеют стабильные фронты и срезы. Длительность каждого выходного импульса равна утроенному времени задержки переключения каждого из трех элементов. Временной промежуток между фронтами выходных импульсов равен длительности входного импульса. Так же это устройство удваивает частоту входного сигнала.

Есть еще одно интересное свойство «Исключающее ИЛИ». Если на один из входов подать постоянный «0», то сигнал на выходе элемента будет повторять входной сигнал, а если постоянный «0» поменять на постоянную «1», то выходной сигнал уже будет инверсией входного.

Иногда появляется необходимость получить элемент «исключающее ИЛИ» из отдельных стандартных логических элементов. Примером может служить схема элемента «исключающее ИЛИ» реализованная на четырех элементах 2-И-НЕ. На рисунке 3 показана схема «исключающее ИЛИ» в четырех ее состояниях. Здесь показаны все возможные логические уровни на каждом из используемых логически элементов 2-И-НЕ.

Такие элементы входят в схему . В данной схеме элемент «Исключающий ИЛИ» выполнен на четырех элементах 2-И-НЕ, входящих в один корпус микросхемы К561ЛА7.

Формирователь дискретного сигнала с разностной частотой

Схема формирователя показана на рисунке 4. Здесь логический элемент «исключающее ИЛИ» также реализован на четырех элементах 2-И-НЕ.

На входы 1 и 2 формирователя падают импульсы прямоугольной формы (см. графики 1 и 2), которые различаются частотой следования. Узел на логических элементах DD1.1-DDI.4 перемножает эти сигналы. Выходной импульсный сигнал (график 3) с элемента DD1.4 подается на интегрирующую цепь R3, С1, преобразующую его в сигнал треугольной формы (график 4) с частотой, равной разности частот входных сигналов, а ОУ DA1 преобразует полученный сигнал в меандр (см. график 5). Резистором R1 регулируют длительность положительной и отрицательной полуволн выходного сигнала. Очень интересная схема. Радиоконструктору, есть над чем подумать. Например, сигнал, показанный на третьем графике, является сигналом ШИМ синусоиды.
Конечно диапазон использования элементов «исключающее ИЛИ» намного шире. Я привел здесь на мой взгляд более интересные для радиолюбителей.

Обозначается оборотом речи «либо…, либо…» Составное утверждение «либо A, либо B» считается истинным, когда истинно либо A, либо B, но не оба сразу; в противном случае составное утверждение ложно.

Т.е. результат истинен (равен 1), если A не равно B (A≠B).

Эту операцию нередко сравнивают с дизъюнкцией потому, что они очень похожи по свойствам, и обе имеют сходство с союзом «или» в повседневной речи. Сравните правила для этих операций:

1. истинно, если истинно или , или оба сразу.

2. истинно, если истинно или , но не оба сразу.

Операция исключает последний вариант («оба сразу») и по этой причине называется исключающим «ИЛИ». Неоднозначность естественного языка заключается в том, что союз «или» может применяться в обоих случаях.

5. Импликация (логическое следование) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью оборота речи «если …, то ….».

Запись: А®В

Составное высказывание, образованное с помощью операции импликации, ложно тогда и только тогда, когда из истинной предпосылки (первого высказывания) следует ложный вывод (второе высказывание).

Т.е. если из 1 следует 0, то результат – 0, в остальных случаях – 1.

Например, высказывание «Если число делится на 10, то оно делится на 5» истинно, т.к. истинны и первое и второе высказывание.

Высказывание «Если число делится на 10, то оно делится на 3» ложно, т.к. из истинной предпосылки делается ложный вывод.

"Данный четырёхугольник - квадрат" (А ) и "Около данного четырёхугольника можно описать окружность" (В ). Тогда составное высказывание , читается как "Если данный четырёхугольник квадрат, то около него можно описать окружность".

В обычной речи связка "если..., то" описывает причинно-следственную связь между высказываниями. Но в логических операциях смысл высказываний не учитывается. Рассматривается только их истинность или ложность. Поэтому не надо смущаться "бессмысленностью" импликаций, образованных высказываниями, совершенно не связанными по содержанию. Например, такими: "если президент США - демократ, то в Африке водятся жирафы", "если арбуз - ягода, то в бензоколонке есть бензин".

6. Эквивалентность (логическое равенство, ~ º Û) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью оборота речи « …тогда и только тогда, когда...»

Составное высказывание, образованное операцией эквивалентности, истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания одновременно либо ложны, либо истинны.

Например, высказывание «Компьютер может производить вычисления тогда и только тогда, когда он включен» и «Компьютер не может производить вычисления тогда и только тогда, когда он не включен» - истинны, поскольку оба простых высказывания одновременно истинны.

Таблицы истинности

Для каждого составного высказывания (логической функции) можно построить таблицу истинности, которая определяет его истинность или ложность при всех возможных комбинациях исходных значений простых высказываний.

Таблица истинности это табличное представление логической схемы (операции), в котором перечислены все возможные сочетания значений истинности входных сигналов (операндов) вместе со значением истинности выходного сигнала (результата операции) для каждого из этих сочетаний.

Отразим выше рассмотренные логические операции в таблице истинности:

В алгебре высказываний все логические функции путем логических преобразований могут быть сведены к трем базовым: логическому сложению, логическому умножению и логическому отрицанию.

Докажем, что операция импликация А®В равносильна логическому выражению:

Простейшие логические операции

Простейшие логические операции относятся к двузначной логике. Их 4 штуки: “НЕ”, “И”, “ИЛИ”, “XOR”. Также для обозначения этих операций используют разные значки (“~”, “&” и т.п.).

При записи логических формул вместо слов “истина” и “ложь” обычно используют стандартные международные обозначения:
Вместо “истина” пишут: true, T, t, 1.
Вместо “ложь” пишут: false, F, f, 0.

“НЕ”

Операция “НЕ” преобразует истину в ложь, а ложь в истину:

НЕ true = false
НЕ false = true

У этой операции бывают разные другие названия: “логическое НЕ”, “отрицание”, “логическое отрицание”, “инверсия”, “логическая инверсия”. Для международных обозначений вместо “НЕ” пишут “NOT”.

В естественном языке этой операции соответствует добавление слов “неправда, что...” в начале высказывания. Например:

Применение операции “НЕ” к высказыванию (1):

“Неправда, что Сурков должен мне денег”. (2)

Если высказывание (1) ложно, то высказывание (2) истинно. Если высказывание (2) ложно, то высказывание (1) истинно.

Нетрудно понять, что двойное применение “НЕ” возвращает нас к прежней истинности.

“Неправда, что неправда, что Сурков должен мне денег”. (3)

Истинность высказывания (3) всегда совпадает с истинностью высказывания (1).

“И”

Операция “И” применяется к двум высказываниям. Ее результат “истина”, только если оба высказывания истинны (а иначе “ложь”):

false И false = false
false И true = false
true И false = false
true И true = true

У этой операции бывают разные другие названия: “логическое И”, “конъюнкция”, “логическое умножение”. Для международных обозначений вместо “И” пишут “AND”.

В естественном языке этой операции соответствует вставка союза “и” между высказываниями. Например:

“Сурков должен мне денег”. (1)
“Петров должен мне денег”. (2)

Применение операции “И” к высказываниям (1) и (2):

“Сурков должен мне денег, и Петров должен мне денег”. (3)

Эту фразу можно сократить, сохранив прежний смысл:

“Сурков и Петров должны мне денег”. (3)

Высказывание (3) истинно только тогда, когда истинны оба высказывания: (1) и (2). Если хотя бы одно из них ложно, то результат тоже ложен. Если оба ложны – тоже.

То есть, если Петров мне денег не задолжал, а задолжал только Сурков, тогда высказывание (3) не будет “полуправдой” или “полуложью”, а будет просто ложью.

“ИЛИ”

Операция “ИЛИ” применяется к двум высказываниям. Ее результат “истина”, если хотя бы одно высказывание истинно (а иначе “ложь”):

false ИЛИ false = false
false ИЛИ true = true
true ИЛИ false = true
true ИЛИ true = true

У этой операции бывают разные другие названия: “логическое ИЛИ”, “включающее ИЛИ”, “дизъюнкция”, “логическое сложение”. Для международных обозначений вместо “ИЛИ” пишут “OR”.
В естественном языке этой операции соответствует вставка союза “или” между высказываниями, но... не всегда (см. ниже об операции “XOR”). Например:

“Я хочу попить”. (1)
“Я хочу поесть”. (2)

Применение операции “ИЛИ” к высказываниям (1) и (2):

“Я хочу попить, или я хочу поесть”. (3)

По-русски звучит правильно, но коряво, и эту фразу можно сократить, сохранив прежний смысл:

“Я хочу попить или поесть ”. (3)

Высказывание (3) истинно тогда, когда истинно хотя бы одно из высказываний (1) и (2), а можно оба. Если оба высказывания ложны, то результат тоже ложен.

То есть, если я хочу есть, но не пить, тогда высказывание (3) истинно. Если я не прочь и поесть, и попить, выказывание (3) тоже истинно. Ложно оно тогда, когдя я не хочу ни того, ни другого.

“XOR”

Операция “XOR” применяется к двум высказываниям. Ее результат “истина”, если ровно одно из высказываний истинно (а иначе “ложь”):

false XOR false = false
false XOR true = true
true XOR false = true
true XOR true = false

У этой операции бывают разные другие названия: “исключающее ИЛИ”, “сложение по модулю 2”, “логическое сложение по модулю 2”. “XOR” – это международное обозначение, общепринятого “русского” аналога нет.

В естественном языке этой операции соответствует вставка союза “или” между высказываниями – так же, как в случае с операцией “ИЛИ”. Например:

“Я собираюсь просить прибавки к зарплате”. (1)
“Я попытаюсь сэкономить ”. (2)

Применение операции “XOR” к высказываниям (1) и (2):

“Я собираюсь просить прибавки к зарплате или я попытаюсь сэкономить”. (3)

Сокращенно:

“Я собираюсь просить прибавки к зарплате или попытаюсь сэкономить”. (3)

Высказывание (3) истинно тогда, когда истинно ровно одно из высказываний (1) и (2). Если я не собираюсь ни просить прибавки, ни экономить, тогда фраза ложна. Также, я имел в виду, что не собираюсь делать и то, и другое одновременно.

Обратите внимание на разницу между операциями “ИЛИ” и “XOR”. Она заключается только в последнем правиле:

true ИЛИ true = true
true XOR true = false

В естественном языке обе операции изображаются одним и тем же союзом “или”. Это – пример неоднозначности естественного языка. Если помните, омонимы и многозначные слова могут иметь больше одного значения. Союз “или” именно такой: он имеет два возможных значения. Первое выражается логической операцией “ИЛИ”, второе – логической операцией “XOR”.

В английском языке существуют те же проблемы: союз “or” имеет те же два значения. А вот древним римлянам было проще, так как в латыни есть два разных слова: “vel” (операция “ИЛИ”) и “aut” (операция “XOR”).

Поскольку разница между операциями “ИЛИ” и “XOR” невелика (всего одно последнее правило), то иногда эта разница не имеет значения. Иногда о том, что имеется в виду, можно догадаться по интонации, или по контексту. Иногда определить точный смысл так и не удается.