Определение и назначение линейных программ. Кратко о линейном программировании. Составление простейших программ

Если в программе все операторы выполняются последовательно, один за другим, такая программа называется линейной. Рассмотрим в качестве примера программу, вычисляющую результат по заданной формуле.

Задача 1.1. Расчет по формуле

Написать программу, которая переводит температуру в градусах по Фаренгейту в градусы Цельсия по формуле:

где С - температура по Цельсию, a F - температура по Фаренгейту.

Перед написанием любой программы надо четко определить, что в нее требуется ввести и что мы должны получить в результате.

В данном случае:

В качестве исходных данных выступает одно вещественное число, представляющее собой температуру по Цельсию,

В качестве результата - другое вещественное число.

Перед написанием программы откроем интегрированную среду Visual C++:

Пуск/Программы/Microsoft Visual Studio/ Microsoft Visual C++ 6.00

1) File > New...

2) В открывшемся окне:

Выберите тип Win32 Console Application;

Введите имя проекта в текстовом поле Project Name;

Введите (выберете с помощью кнопки …) имя каталога размещения файлов проекта в текстовом поле Location, например G:/ASOIZ/

Щелкните левой кнопкой мыши на кнопке ОК.

3) открывается диалоговое окно Win32 Console Application - Stepl of 1 и в нем:

Выберите тип An empty project;

Щелкните на кнопке Finish.

4) После щелчка появится окно New Project, в котором щелкните на кнопке ОК.

1) File > New.... В результате откроется диалоговое окно New.

2) На вкладке Files:

Выберите тип файла (в данном случае: C++ Source File);

В текстовом поле File Name введите нужное имя файла;

Флажок Add to project должен быть включен;

Щелкните на кнопке ОК.

Набираем следующий текст программы:

Рассмотрим каждую строку программы отдельно.

В начале программы записана директива препроцессора, по которой к исходному тексту программы подключается заголовочный файл . Это файл, который содержит описания операторов ввода-вывода cin и cout.

Любая программа на С++ состоит из функций, одна из которых должна иметь имя main, указывающее, что именно с нее начинается выполнение программы. После круглых скобок в фигурных скобках { } записывается тело функции, т.е. те операторы, которые требуется выполнить.

Любая заготовка при написании программы имеет вид:

#include <…>

#include <…>

объявление переменных;

ввод исходных данных;

расчет результата;

вывод результата;

Для хранения исходных данных и результатов надо выделить достаточно места в оперативной памяти. Для этого служит оператор 2. В нашей программе требуется хранить два значения: температуру по Цельсию и температуру по Фаренгейту, поэтому в операторе определяются две переменные. Одна, для хранения температуры по Фаренгейту, названа fahr, другая (по Цельсию) - cels. Имена переменным дает программист, исходя из их назначения. Имя может состоять только из латинских букв, цифр и знака подчеркивания и должно начинаться не с цифры.

При описании любой переменной нужно указать ее тип. Поскольку температура может принимать не только целые значения, для переменных выбран вещественный тип float.

Основные типы:

int (short, unsigned) – целочисленные,

float (double, long double) – вещественные

char – символьный

bool – логический

Для того, чтобы пользователь программы знал, в какой момент требуется ввести с клавиатуры данные, применяется так называемое приглашение к вводу (оператор 3). На экран выводится указанная в операторе cout строка символов, и курсор переводится на следующую строку. Для перехода на следующую строку используется endl .

В операторе 4 выполняется ввод с клавиатуры одного числа в переменную fahr . Для этого используется стандартный объект cin и операция извлечения (чтения) >>. Если требуется ввести несколько величин, используется цепочка операций >>.

В операторе 5 вычисляется выражение, записанное справа от операции присваивания (обозначаемой знаком =), и результат присваивается переменной cels, то есть заносится в отведенную этой переменной память. Cначала целая константа 5 будет поделена на целую константу 9, затем результат этой операции умножен на результат вычитания числа 32 из переменной fahr.

Для вывода результата в операторе 6 применяется объект cout. Выводится цепочка, состоящая из пяти элементов. Это строка " По Фаренгейту:" , значение переменной fahr , строка ", в градусах Цельсия:" , значение переменной cels и оператор перехода на новую строку endl.

Последний оператор (оператор 7) этой программы предназначен для возврата из нее и передачи значения во внешнюю среду.

Далее компилируем программу. Для этого нажимаем кнопку на панели инструментов либо комбинацию клавиш Ctrl+F7. В окне вывода (внизу экрана) должно вывестись сообщение 0 error(s), 0 warning(s) (0 ошибок, 0 предупреждений). Если есть ошибки - сверьте с оригиналом.

Для запуска программы нажимаем кнопку на панели инструментов либо комбинацию клавиш Ctrl+F5.

При запуске программы вместо русских символов видим???, что вызвыно различными стандартами кодировки символов кириллицы в операционных системах MS DOS-и Windows. Для исправления добавим в программу функцию CharToOem (дополнения для наглядности выделены красным цветом)

#include

#include

char* RUS(const char* text)

CharToOem(text, buf);

float fahr, cels;

cout<

cels=5/9 * (fahr - 32);

cout<

cout<

Функцию Rus() нельзя использовать более одного раза в цепочке операций << для одного объекта cout , поэтому мы разбили его на два.

Как вы можете видеть, результат выполнения программы со стабильностью оказывается равным нулю! Это происходит из-за способа вычисления выражения. Давайте вновь обратимся к оператору 4. Константы 5 и 9 имеют целый тип, поэтому результат их деления также целочисленный. Естественно, что результат дальнейших вычислений не может быть ничем, кроме нуля. Исправить эту ошибку просто - достаточно записать хотя бы одну из констант в виде вещественного числа, например:

cels = 5. / 9 * (fahr - 32);

1.2 Кратко о линейном программировании.

Что же такое линейное программирование? Это один из первых и наиболее подробно изученных разделов математического программирования. Именно линейное программирование явилось тем разделом, с которого начала развиваться сама дисциплина «математическое программирование». Термин «программирование» в названии дисциплины ничего общего с термином «программирование (т.е. составление программ) для ЭВМ» не имеет, так как дисциплина «линейное программирование» возникла еще до того времени, когда ЭВМ стали широко применяться при решении математических, инженерных, экономических и других задач. Термин «линейное программирование» возник в результате неточного перевода английского «linear programming». Одно из значений слова «programming» - составление планов, планирование. Следовательно, правильным переводом «linear programming» было бы не «линейное программирование», а «линейное планирование», что более точно отражает содержание дисциплины. Однако, термин линейное программирование, нелинейное программирование и т.д. в нашей литературе стали общепринятыми.

Итак, линейное программирование возникло после Второй мировой войны и стал быстро развиваться, привлекая внимание математиков, экономистов и инженеров благодаря возможности широкого практического применения, а так же математической «стройности».
Можно сказать, что линейное программирование применимо для построения математических моделей тех процессов, в основу которых может быть положена гипотеза линейного представления реального мира: экономических задач, задач управления и планирования, оптимального размещения оборудования и пр.

Задачами линейного программирования называются задачи, в которых линейны как целевая функция, так и ограничения в виде равенств и неравенств. Кратко задачу линейного программирования можно сформулировать следующим образом: найти вектор значений переменных, доставляющих экстремум линейной целевой функции при m ограничениях в виде линейных равенств или неравенств.

Линейное программирование представляет собой наиболее часто используемый метод оптимизации. К числу задач линейного программирования можно отнести задачи:

· рационального использования сырья и материалов; задачи оптимизации раскроя;

· оптимизации производственной программы предприятий;

· оптимального размещения и концентрации производства;

· составления оптимального плана перевозок, работы транспорта;

· управления производственными запасами;

· и многие другие, принадлежащие сфере оптимального планирования.

Так, по оценкам американских экспертов, около 75% от общего числа применяемых оптимизационных методов приходится на линейное программирование. Около четверти машинного времени, затраченного в последние годы на проведение научных исследований, было отведено решению задач линейного программирования и их многочисленных модификаций.

Первые постановки задач линейного программирования были сформулированы известным советским математиком Л.В.Канторовичем, которому за эти работы была присуждена Нобелевская премия по экономике.

В настоящее время линейное программирование является одним из наиболее употребительных аппаратов математической теории оптимального принятия решения.

Итак, линейное программирование - это наука о методах исследования и отыскания наибольших и наименьших значений линейной функции, на неизвестные которой наложены линейные ограничения. Таким образом, задачи линейного программирования относятся к задачам на условный экстремум функции.

1.3 Основная задача линейного программирования

Основная задача линейного программирования (ОЗЛП) ставится следующим образом: Имеется ряд переменных . Требуется найти такие их неотрицательные значения, которые удовлетворяли бы системе линейных уравнений:

{1.1}

и, кроме того, обращали бы в минимум линейную целевую функцию (ЦФ)

Очевидно, случай, когда ЦФ нужно обратить не в минимум, а в максимум, легко сводится к предыдущему, если изменить знак функции и рассмотреть вместо нее функцию

Допустимым решением ОЗЛП называют любую совокупность переменных , удовлетворяющую уравнениям (1.1).

Оптимальным решением называют то из допустимых решений, при котором ЦФ обращается в минимум.

На практике ограничения в задаче линейного программирования часто заданы не уравнениями, а неравенствами. В этом случае можно перейти к основной задаче линейного программирования.

Рассмотрим задачу линейного программирования с ограничениями-неравенствами, которые имеют вид

{1.2}

и являются линейно-независимыми. Последнее означает, никакое из них нельзя представить в виде линейной комбинации других. Требуется найти , которые удовлетворяют неравенствам и обращают в минимум

Введём уравнения:

{1.3}

Где - добавочные переменные, которые также как и являются неотрицательными.

Таким образом, имеем общую задачу линейного программирования - найти неотрицательные , чтобы они удовлетворяли системе уравнений (1.3) и обращали в минимум .

Коэффициенты в формуле (1.3) перед равны нулю.

1.3. Построение ограничений и градиента целевой функции: 1.4. Область допустимых решений – отрезок AB. 1.5. Точка А – оптимальная. Координаты т. А: ; ; . 2. Решение задачи линейного программирования симплекс-методом. Прямая задача. Задачу линейного программирования для любой вершины в компактной форме можно представить в виде: Для получения используем алгоритм, приведённый в...

Лучей, исходящих из одной точки, называется многогранным выпуклым конусом с вершиной в данной точке. 1.4 Математические основы решения задачи линейного программирования графическим способом 1.4.1 Математический аппарат Для понимания всего дальнейшего полезно знать и представлять себе геометрическую интерпретацию задач линейного программирования, которую можно дать для случаев n = 2 и n = ...

Задачи f1(x)=max=g1(x) – для первого предприятия; - для остальных предприятий. Решение задачи оптимального распределения средств между предприятиями методом динамического программирования Таблица 12 Средства с, тыс. гр. Предприятие 1 2 3 4 G1(x) G2(x) G3(x) G4(x) 20 11 13 12 10 40 21 20 22 27 60 40 42 34 33 80 54 45 55 57 100 62 62 ...

Положит в такой симплекс-таблице текущие базисные переменные равными Ai,0, а свободные - нулю, то будет получено оптимальное решение. Практика применения симплекс метода показала, что число итераций, требуемых для решения задачи линейного программирования обычно колеблется от 2m до 3m, хотя для некоторых специально построенных задач вычисления по правилам симплекс метода превращаются в прямой...

Линейными называются программы, состоящие из простых команд (операторов).
Простыми командами (простыми указаниями алгоритма) называются команды, которые не используют условия при своем исполнении. К числу простых операторов относятся команды (операторы) присваивания, ввода и вывода, вызова вспомогательного алгоритма (подпрограммы).

Оператор присваивания. Он задает или изменяет текущее значение некоторой переменной. При этом изменяется содержание конкретного элемента памяти, отведенного для этой переменной. Поскольку цель любого алгоритма - это получение в определенном месте памяти нужного значения, практически любая программа содержит этот оператор. Операторы ввода-вывода. Стандартные процедуры ввода данных используются для определения начальных значений определенных переменных и состоят из имени процедуры и списка ввода, содержащий имена переменных, значения которых будут вводиться с клавиатуры или из файла, т.е. переменным будут присваиваться какие-то определенные значения.
Чаще для определения начальных значений удобнее пользоваться командой ввода, а не командой присваивания, потому что при необходимости использования программы с другими исходными данными не приходится менять текст программы.
Если в записи алгоритма стоит команда ввода, то его выполнение прерывается и управление передается программе, которая может осуществить ввод данных. После ввода данных управление передается следующей команде алгоритма.
На языке Паскаль процедура ввода данных имеет вид:
READ (список ввода);
READLN (список ввода).
При выполнении процедур READ и READLN программа переходит в состояние ожидания ввода данных. Если в списке ввода указано несколько переменных, то их можно вводить в одной строке, отделяя друг от друга символом «пробел», или в отдельных строках (в столбик), завершая ввод каждого значения клавишей Enter.
Работа процедуры не завершится, пока не будут введены значения для всех переменных, указанных в списке. Тип вводимых значений, должно совпадать с тем, который имеет соответствующая переменная.
Оператор READLN отличается от оператора READ тем, что после введения необходимого числа данных курсор перемещается на следующую строку.
Если ввод данных осуществляется с клавиатуры, то список ввода - это список переменных, т.е. последовательность имен переменных, разделенных запятыми. Если ввод осуществляется из файла, то в списке ввода первая переменная - файловая, связана с именем реального файла.
Стандартные процедуры вывода результатов вычислений используются для вывода их значений на экран, принтер или в файл. На языке Паскаль процедуры вывода имеют вид:
WRITE (список вывода);
WRITELN (список вывода).
Список элементов вывода значительно шире, чем в процедурах ввода. В него могут входить:
идентификаторы величин, значения которых будут выводиться на соответствующее устройство или в файл;
выражения, значение которых сначала будут вычислены, а затем выведены на устройство;
стали величины (числовые, символьные, строковые).
Различие между WRITE и WRITELN заключается в том, что вывод оператором WRITE начинается с текущего местоположения курсора на экране монитора и курсор после окончания вывода остается в той же строке. Оператор WRITELN выводит значения с текущего места, а затем курсор перемещается на следующую строку. Можно использовать оператор WRITELN без списка вывода для перемещения курсора на новую строку.
Если вывод осуществляется на экран монитора, то список вывода - это список переменных, или последовательность имен переменных, констант или выражений, разделенных запятыми. Если вывод осуществляется в файл, то в списке вывода первая переменная - файловая, связана с именем реального файла.
В команде вывода после элемента списка вывода через двоеточие можно указать формат вывода, т.е. ширину экрана, на котором будут располагаться значения. При выводе действительных данных можно указать также количество десятичных цифр в дробной части, которую нужно вывести на экран.
Пример: write (А: 10: 3, В: 8).
Оператор вызова вспомогательного алгоритма. В Паскале реализовано подпрограммы-процедуры и подпрограммы-функции. Вызов подпрограммы осуществляется по ее имени с указанием фактических параметров. При этом на месте фактических аргументов могут быть конкретные значения, имена фактических переменных, выражения, а на месте результатов - только имена фактических переменных. При этом количество, типы и назначение формальных и фактических параметров в соответствующих списках параметров должны совпадать.

Линейной называется программа, все операторы которой выполняются последовательно, в том порядке, в котором они записаны. Это самый простой вид программ.

Переменные

Переменная - это величина, которая во время работы программы может -

изменять свое значение. Все переменные, используемые в программе, должны быть описаны в разделе описания переменных, начинающемся со служебного слова var.

Для каждой переменной задается ее имя и тип, например:

var number: integer; х, у: real; option: char;

Имя переменной определяет место в памяти, по которому находится значение переменной. Имя дает программист. Оно должно отражать смысл хранимой величины и быть легко распознаваемым.

Тип переменных выбирается исходя из диапазона и требуемой точности представления данных.

При объявлении можно присвоить переменной некоторое начальное значение, т.е. инициализировать ее. Под инициализацией понимается задание значения, выполняемое до начала работы программы. Инициализированные переменные описываются после ключевого слова const:

const number: integer = 100; x: real = 0.02; option: char = "ю";

По умолчанию все переменные, описанные в главной программе, обнуляются.

Выражения

Выражение - это правило вычисления значения. В выражении участвуют -

операнды, объединенные знаками операций. Операндами выражения могут быть константы, переменные и вызовы функций. Операции выполняются в определенном порядке в соответствии с приоритетами, как и в математике. Для изменения порядка выполнения операций используются круглые скобки, уровень их вложенности практически не ограничен.

Результатом выражения всегда является значение определенного типа, который определяется типами операндов. Величины, участвующие в выражении, должны быть совместимых типов.

• 1. Унарная операция not, унарный минус -, взятие адреса @.
• 2. Операции типа умножения:* / div mod and shl shr.
• 3. Операции типа сложения: + - or xor.
• 4. Операции отношения: = о = in.

Функции, используемые в выражении, вычисляются в первую

Примеры выражений:

t + sin (х)/2 * х -результат имеет вещественный тип; а

(х > 0) and (у

Структура программы

Программа на ПАСКАЛЕ состоит из необязательного заголовка, разделов описании и раздела операторов:

program имя; {заголовок) разделы описаний begin раздел операторов end. (* программа заканчивается точкой *)

Программа может содержать комментарии, заключенные в фигурные скобки {} или в скобки вида (* *).

Общая структура программы приведена на рис. 2.1.

В разделе операторов записываются исполняемые операторы программы. Ключевые слова begin и end не являются операторами, а служат для их объединения в так называемый составной оператор, или блок. Блок может записываться в любом месте программы, где допустим обычный оператор.

Разделы описаний бывают нескольких видов: описание модулей, констант, типов, переменных, меток, процедур и функций.

Модуль - это подключаемая к программе библиотека ресурсов (подпрограмм, констант и т.п.).

Рис. 2.1.

Раздел описания модулей, если он присутствует, должен быть первым. Описание начинается с ключевого слова uses, за которым через запятую перечисляются все подключаемые к программе модули, как стандартные, так и собственного изготовления, например: uses crt, graph, my_module;

Количество и порядок следования остальных разделов произвольны, ограничение только одно: любая величина должна быть описана до ее использования. Признаком конца раздела описания является начало следующего раздела. В программе может быть несколько однотипных разделов описаний, но для упрощения структуры программы рекомендуется группировать все однотипные описания в один раздел.

В разделе описания переменных необходимо определить все переменные, которые будут использоваться в основной программе.

Раздел описания констант служит, для того чтобы вместо значений констант можно было использовать в программе их имена. Есть и еще одно применение раздела описания констант: в нем описываются переменные, которым требуется присвоить значение до начала работы программы:

const weight: real = 61.5; n = 10;

Раздел описания меток начинается с ключевого слова label, за которым через запятую следует перечисление всех меток, встречающихся в программе. Метка - это либо имя, либо положительное число, не превышающее 9999. Метка ставится перед любым исполняемым оператором и отделяется от него двоеточием. Пример описания меток: label 1, 2, error;

Метки служат для организации перехода на конкретный оператор с помощью оператора безусловного перехода goto.

Процедуры ввода-вывода Любая программа при вводе исходных - данных и выводе результатов взаимодействует с внешними устройствами. Совокупность стандартных устройств ввода и вывода, т.е. клавиатуры и экрана дисплея, называется консолью.

Ввод с клавиатуры. Для ввода с клавиатуры определены следующие процедуры: read и readln: read (список); readln [(список)];

В скобках указывается список имен переменных через запятую. Квадратные скобки указывают на то, что список может отсутствовать. Например:

read (a, b, с); readln (у); readln;

ВНИМАНИЕ

Вводить можно целые, вещественные, символьные и строковые величины. Вводимые значения должны разделяться любым количеством пробельных символов (пробел, табуляция, перевод строки).

Ввод значения каждой переменной выполняется так:

• ? значение переменной выделяется как группа символов, расположенных между разделителями;
• ? эти символы преобразуются во внутреннюю форму представления, соответствующую типу переменной;
• ? значение записывается в ячейку памяти, определяемую именем переменной.

Кроме этого, процедура readln после ввода всех значений выполняет переход на следующую строку исходных данных. Процедура readln без параметров просто ожидает нажатия клавиши Enter.

Особенность ввода символов и строк состоит в том, что пробельные символы в них ничем не отличаются от всех остальных, поэтому разделителями являться не могут.

Вывод на экран. При выводе выполняется обратное преобразование: из внутреннего представления в символы, выводимые на экран. Для этого в языке определены стандартные процедуры write и writeln: write (список); writeln [(список)];

Процедура write выводит указанные в списке величины на экран, а процедура writeln вдобавок к этому еще и переводит курсор на следующую строку. Процедура writeln без параметров просто переводит курсор на следующую строку.

Выводить можно величины логических, целых, вещественных, символьного и строкового типов. В списке могут присутствовать не только имена переменных, но и выражения, а также их частный случай - константы. Кроме того, для каждого выводимого значения можно задавать его формат, например: writeln (а:4, Ь:6:2);

После имени переменной а через двоеточие указано количество отводимых под нее позиций, внутри которых значение выравнивается по правому краю. Для b указано две форматные спецификации, означающие, что под эту переменную отводится всего шесть позиций, причем две из них - под дробную часть.