Импульсной характеристикой (весовой функцией) называется реакция системы на единичный бесконечный импульс (дельта-функцию или функцию Дирака) при нулевых начальных условиях. Дельта-функция определяется равенствами
, .
Это обобщенная функция – математический объект, представляющий собой идеальный сигнал, никакое реальное устройство не способно его воспроизвести. Дельта-функцию можно рассматривать как предел прямоугольного импульса единичной площади с центром в точке при стремлении ширины импульса к нулю.
Теперь нам нужно проанализировать пределы этой суммы. Итак, мы должны использовать интегралы для правильного понимания этого типа системы. Для этого нам нужна свертка! Предположим для этой задачи, что \\ больше нуля. Попробуйте выполнить следующие две функции.
,
где – передаточная функция системы, которая является преобразованием Лапласа для. Импульсная характеристика системы с одним интегратором стремится к постоянной величине, равной статическому коэффициенту передачи системы без интегратора. Для системы с двумя интеграторами импульсная характеристика асимптотически стремится к прямой, с тремя интеграторами – к параболе и т.д.
Соответствующим дискретным сигналом является последовательность. Рассмотрим преобразование Фурье непрерывного сигнала. Аппроксимация преобразования Фурье получается из дискретного сигнала методом прямоугольников. 
Когда сумма остановлена в конечном ранге, мы находим.
Линейная система с конечной импульсной характеристикой
Эта система называется причинной, поскольку состояние выхода зависит только от предыдущих состояний входа. Дискретный сигнал, определяемый. 
Для входного импульса линейная система выводит сигнал. 
Следует отметить, что выходной сигнал является результатом свертки входного сигнала импульсной характеристикой.
8. Временной метод анализа переходных процессов в линейных электрических цепях
8.1. Переходные и импульсные характеристики электрических цепей
В основе временного метода лежит понятие переходной и импульсной характеристик цепи. Переходной характеристикой цепи называют реакцию цепи на воздействие в форме единичной функции (7.19). Обозначается переходная характеристика цепи g (t ). Импульсной характеристикой цепи называют реакцию цепи на воздействие единичной импульсной функции (d-функции) (7.21). Обозначается импульсная характеристика h (t ). Причем, g (t ) и h (t ) определяются при нулевых начальных условиях в цепи. В зависимости от типа реакции и типа воздействия (ток или напряжение) переходные и импульсные характеристики могут быть безразмерными величинами, либо имеют размерность А/В или В/А.
Эта система представляет собой фильтр с конечным импульсным откликом. 
Который является дискретным преобразованием Фурье импульсной характеристики. Рассмотрим в качестве простого примера фильтр, реализующий среднее арифметическое двух последовательных значений ввода.
Использование понятий переходной и импульсной характеристик цепи позволяет свести расчет реакции цепи от действия непериодического сигнала произвольной формы к определению реакции цепи на простейшее воздействие типа единичной 1(t ) или импульсной функции d(t ), с помощью которых аппроксимируется исходный сигнал. При этом результирующая реакция линейной цепи находится (с использованием принципа наложения) как сумма реакций цепи на элементарные воздействия 1(t ) или d(t ).
Средний фильтр - фильтр нижних частот. Фазовый сдвиг линейно изменяется с частотой. Это подтверждается следующим выражением частотной характеристики . Чтобы имитировать действие этого фильтра на сигнал, рассмотрите следующий непрерывный сигнал и его выборку.
Чтобы получить отфильтрованный дискретный сигнал, достаточно выполнить свертку с импульсной характеристикой. Для линейного фазового фильтра фазовый сдвиг является линейной функцией частоты. Таким образом, частотная характеристика имеет следующий вид. 
Все частоты сигнала подвергаются одному и тому же сдвигу τ при прохождении через фильтр. τ - время распространения.
Между переходной g (t ) и импульсной h (t ) характеристиками линейной пассивной цепи существует определенная связь. Ее можно установить, если представить единичную импульсную функцию через предельный переход разности двух единичных функций величины 1/t, сдвинутых друг относительно друга на время t (см. рис. 7.4):
т. е. единичная импульсная функция равна производной единичной функции. Так как рассматриваемая цепь предполагается линейной, то соотношение (8.1) сохраняется и для импульсных и переходных реакций цепи
Форма сигнала не изменяется с помощью полосовой фильтрации. Выделяя термин, содержащий фазу, частотная характеристика записывается в соответствии с выражением. После изменения переменной в сумме выводится выражение коэффициента усиления. Написан частотный отклик. Учитывая предел, получим.
Получен линейный фазовый фильтр с бесконечной импульсной характеристикой. Этот метод эквивалентен применению прямоугольного окна к коэффициентам Фурье. 
Коэффициенты Фурье этой функции. 
Результат может быть выражен с помощью синусовой кардинальной функции и зависит только от отношения частоты среза к частоте дискретизации.
т. е. импульсная характеристика является производной от переходной характеристики цепи.
Уравнение (8.2) справедливо для случая, когда g (0) = 0 (нулевые начальны е условия для цепи). Еслиже g (0) ¹ 0, то представив g (t ) в виде g (t ) = , где = 0, получим уравнение связи для этого случая:
Для получения частотной характеристики используется следующая функция. Здесь приведен график усиления и фазы фильтра. Можно видеть, что фаза действительно линейна в полосе пропускания, но усиление имеет очень сильные волнистости. В аттенюированной полосе имеются разрывы π фазы. Разумеется, различия в отношении желаемой передаточной функции обусловлены усечением импульсной характеристики.
Попробуем усечение окном Ханна. Волны в полосе пропускания и в аттенюированной полосе значительно уменьшены. Линейность фазы в полосе пропускания всегда обеспечивается. Если задержка τ должна оставаться фиксированной, частота дискретизации должна быть увеличена одновременно. Отбирается сигнал с шумом.
Для нахождения переходных и импульсных характеристик цепи можно использовать как классический, так и операторный методы. Сущность классического метода состоит в определении временной реакции цепи (в форме напряжения или тока в отдельных ветвях цепи) на воздействие единичной 1(t ) или импульсной d(t ) функции. Обычно классическим методом удобно определять переходную характеристику g (t ), а импульсную характеристику h (t ) находить с помощью уравнений связи (8.2), (8.3) или операторным методом .
Пример. Найдем классическим методом переходную характеристику по напряжению для цепи, изображенной на рис. 8.1. Численно g u (t ) для данной цепи совпадает с напряжением на емкости при подключении ее в момент t = 0 к источнику напряжения U 1 = l В:
Закон изменения напряжения u C (t ) определяется уравнением (6.27), где необходимо положить U = l В:
При нахождении характеристик g (t ) и h (t ) операторным методом пользуются изображениями функций 1(t ), d(t ) и методикой расчета переходных процессов, изложенных в гл. 7.
Пример. Определим операторным методом переходную характеристику g u (t ) RС -цепи (см. рис. 8.1). Для данной цепи в соответствии с законом Ома в операторной форме (7.35) можем записать:
Окончательно получаем
Отсюда по теореме разложения (7.31) находим
т. е. то же значение, что и полученное классическим методом.
Следует отметить, что величина I (р ) в уравнении (8.4) численно равна изображению переходной проводимости. Аналогичное изображение импульсной характеристики численно равно операторной проводимости цепи
Например, для RС -цепи (см. рис. 8.1) имеем:
Применив к Y (p ) теорему разложения (7.30), получим:
Следует отметить, что формула (8.5) определяет свободную составляющую реакции цепи при единичном импульсном воздействии. В общем случае в реакции цепи, кроме экспоненциальных составляющих свободного режима при t > 0 присутствует импульсное слагаемое, отображающее воздействие при t = 0 единичного импульса. Действительно, если учесть, что для RС -контура (см. рис. 8.1) переходная характеристика по току при U = 1(t ) согласно (6.28) будет
то после дифференцирования (8.6) согласно (8.2) получаем импульсную характеристику RС -цепи h i (t ) в виде
т. е. реакция h i (t ) содержит два слагаемых - импульсное и экспоненциальное.
Физический смысл первого слагаемого в (8.7) означает, что при t = 0 в результате воздействия на цепь импульсного напряжения d(t ) зарядный ток мгновенно достигает бесконечно большого значения, при этом за время от 0 – до 0 + элементу емкости передается конечный заряд и она скачком заряжается до напряжения I /RC . Второе слагаемое определяет свободный процесс в цепи при t > 0 и обусловлено разрядом конденсатора через короткозамкнутый вход (так как при t > 0 d(t ) = 0, что равносильно КЗ входа) с постоянной времени t = RC . Из этого следует, что при d(t )-импульсном воздействии на RС -цепь нарушается непрерывность заряда на емкости (второй закон коммутации). Аналогично нарушается и условие непрерывности тока в индуктивности (первый закон коммутации), если к цепи, содержащей элемент индуктивности воздействовать напряжением в виде d(t ).
В табл. 8.1 сведены значения переходной и импульсных характеристик по току и напряжению для некоторых цепей первого и второго порядка.
8.2. Интеграл Дюамеля
Интеграл Дюамеля может быть получен, если аппроксимировать приложенное воздействие f 1 (t ) с помощью единичных функций, сдвинутых относительно друг друга на время Dt (рис. 8.2).
Реакция цепи на каждое ступенчатое воздействие определится как
Результирующая реакция цепи на систему ступенчатых воздействий найдется, исходя из принципа наложения:
где п - число аппроксимирующих участков, на которые разбит интервал 0 ... t . Домножив и разделив выражение, стоящее под знаком суммы, на Dt и перейдя к пределу с учетом того получим одну из форм интеграла Дюамеля:
Уравнение (8.8) отражает реакцию цепи на заданное воздействие, поскольку аппроксимирующая функция стремится к исходной.
Вторая форма интеграла Дюамеля может быть получена с помощью теоремы свертки (см.): , б), затем определяется классическим или операторным методом реакция цепи при включении рассматриваемой ветви к активному двухполюснику (рис. 8.4, в ). Результирующая реакция находится как сумма реакций: .
8.3. Интеграл наложения
При нахождении реакции цепи с помощью интеграла наложения используется импульсная характеристика цепи h (t ). Для получения общего выражения интеграла наложения аппроксимируем входной сигнал f 1 (t ) с помощью системы единичных импульсов длительности d t, амплитуды f 1 (t) и площади f 1 (t)d t (рис. 8.5). Выходная реакция цепи на каждый из единичных импульсов
Используя принцип наложения, нетрудно получить суммарную реакцию цепи на систему единичных импульсов:
Интеграл (8.12) носит название интеграла наложения . Между интегралами наложения и Дюамеля существует простая связь, определяемая связью (8.3) между импульсной h (t ) и переходной g (t ) характеристиками цепи. Подставив, например, значение h (t ) из (8.3) в формулу (8.12) с учетом фильтрующего свойства d-функции (7.23), получим интеграл Дюамеля в форме (8.11).
Пример. На вход RС -цепи (см. рис. 8.1) подается скачок напряжения U 1 . Определить реакцию цепи на выходе с использованием интегралов наложения (8.12) и Дюамеля (8.11).
Импульсная характеристика данной цепи равна (см. табл. 8.1): h u (t ) = = (1/RC)e –t / RC . Тогда, подставляя h u (t – t) = (1/RC)e –( t– t)/ RC в формулу (8.12), получаем:
Аналогично результат получаем при использовании переходной функции данной цепи и интеграла Дюамеля (8.11):
Если начало воздействия не совпадает с началом отсчета времени, то интеграл (8.12) принимает вид
Интегралы наложения (8.12) и (8.13) представляютсобойсвертку входного сигнала с импульсной характеристикой цепи и широко применяются в теории электрических цепей и теории передачи сигналов. Ее физический смысл заключается в том, что вход ной сигнал f 1 (t) как бы взвешивается с помощью функции h (t- t): чем медленнее убывает со временем h (t ), тем большее влияние на выходной сигнал оказывает более удаленные от момента наблюдения значение входного воздействия.
На рис. 8.6, а показан сигнал f 1 (t) и импульсная характеристика h (t- t), являющаяся зеркальным отображением h (t), а на рис. 8.6, б приведена свертка сигнала f 1 (t) с функцией h (t- t) (заштрихованная часть), численно равная реакции цепи в момент t .
Из рис. 8.6 видно, что отклик на выходе цепи не может быть короче суммарной длительности сигнала t 1 и импульсной характеристики t h . Таким образом, для того чтобы выходной сигнал не искажался импульсная характеристика цепи должна стремиться к d-функции.
Очевидно также, что в физически реализуемой цепи реакция не может возникнуть раньше воздействия. А это означает, что импульсная характеристика физически реализуемой цепи должна удовлетворять условию
Для физически реализуемой устойчивой цепи кроме того должно выполняться условие абсолютной интегрируемости импульсной характеристики:
Если входное воздействие имеет сложную форму или задается графически, то для вычисления реакции цепи вместо интеграла свертки (8.12) применяют графоаналитические способы.
Вопросы и задания для самопроверки
1. Дать определения переходной и импульсной характеристик цепи.
2. Указать связь между импульсной и переходной характеристиками.
3. Как определить переходную и импульсную характеристику цепи?
4. В чем отличие переходных характеристик, объяснить их физический смысл.
5. Как определить, какую из четырех разновидностей переходных или импульсных характеристик необходимо применить в каждом конкретном случае при расчете реакции цепи?
6. В чем заключается сущность расчета переходных процессов с использованием g (t ) и h (t )?
7. Как определить реакцию цепи, если воздействие имеет сложную форму?
8. Каким условиям должна удовлетворять цепь при использовании интеграла Дюамеля?
9. Приведите другую форму интеграла наложения, отличную от (8.12).
10. Расчет реакции цепи с использованием интегралов Дюамеля и наложения приводит к одинаковым результатам или разным?
11. Определить переходную проводимость цепи, образованной сопротивлением и индуктивностью, включенными последовательно.
12. Определить цепи, образованной сопротивлением и емкостью, включенными последовательно.
Ответ: 
.
13. Получить третью форму интеграла Дюамеля (8.10) из уравнения свертки (8.10).
Чтобы судить о возможностях электротехнических устройств, принимающих и передающих входные воздействия, прибегают к исследованию их переходных и импульсных характеристик.
Переходная характеристика h (t ) линейной цепи, не содержащей независимых источников, численно равна реакции цепи на воздействие единичного скачка тока или напряжения в виде единичной ступенчатой функции 1(t ) или 1(t – t 0) при нулевых начальных условиях (рис. 14). Размерность переходной характеристики равна отношению размерности реакции к размерности воздействия. Она может быть безразмерной, иметь размерность Ом, Сименс (См).
Рис. 14
Импульсная характеристика k (t ) линейной цепи, не содержащей независимых источников, численно равна реакции цепи на воздействие единичного импульса в виде d(t ) или d(t – t 0) функции при нулевых начальных условиях. Ее размерность равна отношению размерности реакции к произведению размерности воздействия на время, поэтому она может иметь размерности с –1 , Омс –1 , Смс –1 .
Импульсную функцию d(t ) можно рассматривать как производную единичной ступенчатой функции d(t ) = d 1(t )/dt . Соответственно, импульсная характеристика всегда является производной по времени от переходной характеристики: k (t ) = h (0 +)d(t ) + dh (t )/dt . Эту связь используют для определения импульсной характеристики. Например, если для некоторой цепи h (t ) = 0,7e –100t , то k (t ) = 0,7d(t ) – 70e –100 t . Переходную характеристику можно определить классическим или операторным методом расчета переходных процессов.
Между временными и частотными характеристиками цепи существует связь. Зная операторную передаточную функцию, можно найти изображение реакции цепи: Y (s ) = W (s )X (s ), т.е. передаточная функция содержит полную информацию о свойствах цепи как системы передачи сигналов от ее входа к выходу при нулевых начальных условиях. При этом характер воздействия и реакции соответствуют тем, для которых определена передаточная функция.
Передаточная функция для линейных цепей не зависит от вида входного воздействия, поэтому она может быть получена из переходной характеристики. Так, при действии на входе единичной ступенчатой функции 1(t ) передаточная функция с учетом того, что 1(t ) = 1/s , равна
W (s ) = L [h (t )] / L = L [h (t )] / (1/s ), где L [f (t )] - обозначение прямого преобразования Лапласа над функцией f (t ). Переходная характеристика может быть определена через передаточную функцию с помощью обратного преобразования Лапласа, т.е. h (t ) = L –1 [W (s )(1/s )], где L –1 [F (s )] - обозначение обратного преобразования Лапласа над функцией F (s ). Таким образом, переходная характеристика h (t ) представляет собой функцию, изображение которой равно W (s ) /s .
При действии на вход цепи единичной импульсной функции d(t ) передаточная функция W (s ) = L [k (t )] / L = L [k (t )] / 1 = L [k (t )]. Таким образом, импульсная характеристика цепи k (t ) является оригиналом передаточной функции. По известной операторной функции цепи с помощью обратного преобразования Лапласа можно определить импульсную характеристику: k (t ) W (s ). Это означает, что импульсная характеристика цепи единственным образом определяет частотные характеристики цепи и наоборот, так как
W (j w) = W (s ) s = j w . Поскольку по известной импульсной характеристике можно найти переходную характеристику цепи (и наоборот), то последняя тоже однозначно определяется частотными характеристиками цепи.
Пример 8.
Рассчитать переходную и импульсную характеристики цепи (рис. 15) для входного тока и выходного напряжения при заданных параметрах элементов: R
= 50 Ом, L
1 = L
2 = L
= 125 мГн,
С
= 80 мкФ.
Рис. 15
Решение.
Примéним классический метод расчета. Характеристическое уравнение Z вх = R
+ pL
+
+ 1 / (pC
) = 0 при заданных параметрах элементов имеет комплексно-сопряженные корни: p
1,2 =
= – d j
w A 2 = – 100 j
200, что определяет колебательный характер переходного процесса. В этом случае законы изменения токов и напряжений и их производных в общем виде записывают так:
y (t ) = (M сosw A 2 t + N sinw A 2 t )e – d t + y вын; dy (t ) / dt =
=[(–M d + N w A 2) сos w A 2 t – (M w A 2 + N d)sinw A 2 t ]e – d t + dy вын / dt , где w A 2 - частота свободных колебаний; y вын - вынужденная составляющая переходного процесса.
Вначале найдем решение для u C (t ) и i C (t ) = C du C (t ) / dt , воспользовавшись вышеприведенными уравнениями, а затем по уравнениям Кирхгофа определим необходимые напряжения, токи и, соответственно, переходные и импульсные характеристики.
Для определения постоянных интегрирования необходимы начальные и вынужденные значения указанных функций. Их начальные значения известны: u C (0 +) = 0 (из определения h (t ) и k (t )), так как i C (t ) = i L (t ) = i (t ), то i C (0 +) = i L (0 +) = 0. Вынужденные значения определим из уравнения, составленного согласно второму закону Кирхгофа для t 0 + : u 1 = R i (t ) + (L 1 + L 2) i (t ) / dt + u C (t ), u 1 = 1(t ) = 1 = сonst,
отсюда u C () = u C вын = 1, i C () = i C вын = i () = 0.
Составим уравнения для определения постоянных интегрирования M , N :
u C
(0 +) = M
+ u C
вын (0 +), i C
(0 +) = С
(–M
d + N
w A 2) + i C
вын (0 +); или: 0 = M
+ 1; 0 = –M
100 + N
200; отсюда: M
= –1, N
= –0,5. Полученные значения позволяют записать решения u C
(t
) и i C
(t
) = i
(t
): u C
(t
) = [–сos200t
– -0,5sin200t
)e
–100t
+ 1] B, i C
(t
) = i
(t
) = e
–100 t
] = 0,02
sin200t
)e
–100 t
A. Согласно второму закону Кирхгофа,
u 2 (t ) = u C (t ) + u L 2 (t ), u L 2 (t ) = u L (t ) = Ldi (t ) / dt = (0,5сos200t – 0,25sin200t ) e –100t B. Тогда u 2 (t ) =
=(–0,5сos200t – 0,75sin200t ) e –100t + 1 = [–0,901sin(200t + 33,69) e –100t + 1] B.
Проверим правильность полученного результата по начальному значению: с одной стороны, u 2 (0 +) = –0,901 sin (33,69) + 1 = 0,5, а с другой стороны, u 2 (0 +) = u С (0 +) + u L (0 +) = 0 + 0,5 - значения совпадают.
Рассмотрим линейную электрическую цепь, не содержащую независимых ис точников тока и напряжения. Пусть внешнее воздействие на цепь представляет со
Переходной характеристикой g (t -t 0 ) линейной цепи, не содержащей незави симых источников энергии, называется отношение реакции этой цепи на воздейст вие неединичного скачка тока или напряжения к высоте этого скачка при нулевых начальных условиях:
реходная характеристика цепи численно равна реакции цепи на воздействие единич ного скачка тока или напряжения. Размерность переходной характеристики равна отношению размерности отклика к размерности внешнего воздействия, поэтому переходная характеристика может иметь размерность сопротивления, проводимо сти или быть безразмерной величиной.
Пусть внешнее воздействие на цепь имеет форму бесконечно короткого им пульса бесконечно большой высоты и конечной площади А И :
и .
Реакцию цепи на это воздействие при нулевых начальных условиях обозначим
Импульсной характеристикой h (t -t 0 ) линейной цепи, не содержащей неза висимых источников энергии, называется отношение реакции этой цепи на воздей ствие бесконечно короткого импульса бесконечно большой высоты и конечной площади к площади этого импульса при нулевых начальных условиях:
⁄ и . |
Как следует из выражения (6.109), импульсная характеристика цепи численно равна реакции цепи на воздействие единичного импульса (А И = 1). Размерность им пульсной характеристики равна отношению размерности отклика цепи к произве дению размерности внешнего воздействия на время.
Подобно комплексной частотной и операторной характеристикам цепи, пере ходная и импульсная характеристики устанавливают связь между внешним воздей ствием на цепь и ее реакцией, однако в отличие от комплексной частотной и опера торной характеристик аргументом переходной и импульсной характеристик явля ется время t , а не угловая ω или комплексная р частота. Так как характеристики це пи, аргументом которых является время, называются временны́ми, а аргументом которых является частота (в том числе и комплексная) - частотными характери
стиками (см. модуль 1.5), то переходная и импульсная характеристики относятся к временны́м характеристикам цепи.
Каждой паре « внешнее воздействие на цепь - реакция цепи » можно поставить в соответствие определенную комплексную частотную
Для установления связи между этими характеристиками найдем операторные изображения переходной и импульсной характеристик. Используя выражения
(6.108), (6.109), запишем
Операторные изображения реакции цепи на внеш |
|||||||
ние воздействия. Выражая |
через операторные изображения внешних |
||||||
воздействий |
Аи |
; получаем |
|||||
0 операторные изображения переходной и импульсной характери |
|||||||
стик имеют особенно простой вид: |
|||||||
Таким образом, импульсная характеристика цепи |
Это функция, изо |
||||||
бражение которой по Лапласу, представляет собой операторную характеристику це
между частотными и временными характеристиками цепи. Зная, например, им пульсную характеристику можно с помощью прямого преобразования Лапла са найти соответствующую операторную характеристику цепи
Используя выражения (6.110) и теорему дифференцирования (6.51), нетрудно установить связь между переходной и импульсной характеристиками:
Следовательно, импульсная характеристика цепи равна первой производной переходной характеристики по времени. В связи с тем, что переходная характери стика цепи g (t-t 0 ) численно равна реакции цепи на воздействие единичного скачка напряжения или тока, приложенного к цепи с нулевыми начальными условиями, значения функции g (t-t 0 ) при t < t 0 равны нулю. Поэтому, строго говоря, переход ную характеристику цепи следует записывать как g (t-t 0 ) ∙ 1(t-t 0 ), а не g (t-t 0 ). За меняя в выражении (6.112) g (t-t 0 ) на g (t-t 0 ) ∙ 1(t-t 0 ) и используя соотношение (6.104), получаем
Выражение (6.113) известно под названием формулы обобщенной производ ной . Первое слагаемое в этом выражении представляет собой производную пере ходной характеристики при t > t 0 , а второе слагаемое содержит произведение δ функции на значение переходной характеристики в точке t = t 0 . Если при t = t 0 функ ция g (t-t 0 ) изменяется скачкообразно, то импульсная характеристика цепи содер жит δ функцию, умноженную на высоту скачка переходной характеристики в точке t = t 0 . Если функция g (t-t 0 ) не претерпевает разрыва при t = t 0 , т. е. значение переход ной характеристики в точке t = t 0 равно нулю, то выражение для обобщенной произ водной совпадает с выражением для обычной производной.
Методы определения временных характеристик
Для определения временны́х характеристик линейной цепи в общем случае не обходимо рассмотреть переходные процессы, имеющие место в данной цепи при воздействии на нее единичного скачка (единичного импульса) тока или напряже ния. Это может быть выполнено с помощью классического или операторного метода анализа переходных процессов. На практике для нахождения временных характери стик линейных цепей удобно использовать другой путь, основанный на применении соотношений, устанавливающих связь между частотными и временными характери стиками. Определение временных характеристик в этом случае начинается с состав
операторную характеристику цепи и применяя соотношения (6.110) или (6.111), оп ределяют искомые временные характеристики.
щающего цепи определенную энергию. Токи индуктивностей и напряжения емко стей при этом скачком изменяются на значение, соответствующее поступившей в цепь энергии. На втором этапе (при) действие приложенного к цепи внешне го воздействия закончилось (при этом соответствующие источники энергии вы ключены, т. е. представлены внутренними сопротивлениями), и в цепи возникают свободные процессы, протекающие за счет энергии, запасенной в реактивных эле ментах на первой стадии переходного процесса. Таким образом, импульсная харак теристика цепи, численно равная реакции на воздействие единичного импульса то ка или напряжения, характеризует свободные процессы в рассматриваемой цепи.
Пример6.7.Для цепи, схема которой приведена на рис. 3.12, а, найдем переходную и импульсную характеристики в режиме холостого хода на зажимах 2―2". Внешнее воздейст
вие на цепь ― напряжение на зажимах 1―1" |
Реакция цепи ― напряжение на зажи |
|
Операторная характеристика данной цепи, соответствующая заданной паре «внеш нее воздействие на цепь ― реакция цепи», была получена в примере 6.5:
х ⁄ .
Следовательно, операторные изображения переходной и импульсной характери стик цепи имеют вид
⁄ ;
1 ⁄ 1 ⁄ .
Используя таблицы обратного преобразования Лапласа см. приложение 1 , пере ходим от изображений искомых временных характеристик к оригиналам рис. 6.20, а, б:
Отметим, что выражение для импульсной характеристики цепи может быть полу чено и с помощью формулы 6.113 , примененной к выражению для переходной характери стики цепи g t .
Для качественного объяснения вида переходной и импульсной характеристик цепи в данном включении рис. 6.20, а, б подсоединим к зажимам 1-1" независимый источник напряжения рис. 6.20, в. Переходная характеристика данной цепи численно рав на напряжению на зажимах 2-2" при воздействии на цепь единичного скачка напряжения
1 В и нулевых начальных условиях. В начальный момент времени после коммута
ции сопротивление индуктивности бесконечно велико, поэтому при t |
|||
на выходе цепи равно напряжению на зажимах 1-1": u 2 |t 0 |
u 1| t 0 |
1 В. С течением вре |
|
мени напряжение на индуктивности уменьшается, стремясь к нулю при t |
∞ . В соответст |
||
вии с этим переходная характеристика начинается от значения g 0 |
1 и стремится к нулю |
||
Импульсная характеристика цепи численно равна напряжению на зажимах 2 - 2" |
|||
при приложении к входу цепи единичного импульса напряжения e t |
Министерство образования и науки Украины Донецкий Национальный Университет Доклад на тему: Радиотехнические цепи и сигналы Студента 3 курса дневного отделения НФ-3 Разработал студент: Александрович С. В. Проверил преподаватель: Долбещенков В. В. ВВЕДЕНИЕ "Радиотехнические цепи и сигналы" (РТЦ и С) – курс, являющийся продолжением курса "Основы теории цепей". Его целью является изучение фундаментальных закономерностей, связанных с получением сигналов, их передачей по каналам связи, обработкой и преобразованием в радиотехнических цепях. Излагаемые в курсе "РТЦ и С" методы анализа сигналов и радиотехнических цепей используют математические и физические сведения, в основном известные студентам из предшествующих дисциплин. Важная задача курса "РТЦ и С" – научить студентов выбирать математический аппарат, адекватный встретившейся проблеме, показать, как работает этот аппарат при решении конкретных задач в области радиотехники. Не менее важно научить студентов видеть тесную связь математического описания с физической стороной рассматриваемого явления, уметь составлять математические модели изучаемых процессов. Основные разделы, изучаемые в курсе "Радиотехнические цепи и сигналы": 1. Временной анализ цепей на основе свертки; 2. Спектральный анализ сигналов; 3. Радиосигналы с амплитудной, угловой модуляцией; 4. Корреляционный анализ сигналов; 5. Активные линейные цепи; 6. Анализ прохождения сигналов через узкополосные цепи; 7. Отрицательная обратная связь в линейных цепях; 8. Синтез фильтров; 9. Нелинейные цепи и методы их анализа; 10. Цепи с переменными параметрами; 11. Принципы генерирования гармонических колебаний; 12. Принципы обработки сигналов дискретного времени; 13. Случайные сигналы; 14. Анализ прохождения случайных сигналов через линейные цепи; 15. Анализ прохождения случайных сигналов через нелинейные цепи; 16. Оптимальная фильтрация детерминированных сигналов в шумах; 17. Оптимальная фильтрация случайных сигналов; 18. Численные методы расчета линейных цепей. ВРЕМЕННОЙ АНАЛИЗ ЦЕПЕЙ НА ОСНОВЕ СВЕРТКИ Переходная и импульсная характеристика В основе временного метода лежит понятие переходной и импульсной характеристик цепи. Переходной характеристикой цепи называют реакцию цепи на воздействие в форме единичной функции. Обозначается переходная характеристика цепи g (t ). Импульсной характеристикой цепи называют реакцию цепи на воздействие единичной импульсной функции (d-функции). Обозначается импульсная характеристика h (t ). Причем, g (t ) и h (t )определяются при нулевых начальных условиях в цепи. В зависимости от типа реакции и типа воздействия (ток или напряжение) переходные и импульсные характеристики могут быть безразмерными величинами, либо имеют размерность А/В или В/А. Использование понятий переходной и импульсной характеристик цепи позволяет свести расчет реакции цепи от действия непериодического сигнала произвольной формы к определению реакции цепи на простейшее воздействие типа единичной 1(t ) или импульсной функции d(t ), с помощью которых аппроксимируется исходный сигнал. При этом результирующая реакция линейной цепи находится (с использованием принципа наложения) как сумма реакций цепи на элементарные воздействия 1(t ) или d(t ). Между переходной g (t ) и импульсной h (t ) характеристиками линейной пассивной цепи существует определенная связь. Ее можно установить, если представить единичную импульсную функцию через предельный переход разности двух единичных функций величины 1/t, сдвинутых друг относительно друга на время t: т. е. единичная импульсная функция равна производной единичной функции. Так как рассматриваемая цепь предполагается линейной, то соотношение сохраняется и для импульсных и переходных реакций цепи т. е. импульсная характеристика является производной от переходной характеристики цепи. Уравнение справедливо для случая, когда g (0) = 0 (нулевые начальные условия для цепи). Если же g (0) ¹ 0, то представив g (t ) в виде g (t ) = , где = 0, получим уравнение связи для этого случая: Для нахождения переходных и импульсных характеристик цепи можно использовать как классический, так и операторный методы. Сущность классического метода состоит в определении временной реакции цепи (в форме напряжения или тока в отдельных ветвях цепи) на воздействие единичной 1(t ) или импульсной d(t ) функции. Обычно классическим методом удобно определять переходную характеристику g (t ), а импульсную характеристику h (t ) находить с помощью уравнений связи или операторным методом. Следует отметить, что величина I (р ) в уравнении численно равна изображению переходной проводимости. Аналогичное изображение импульсной характеристики численно равно операторной проводимости цепи Например, для RС -цепи имеем: Применив к Y (p ) теорему разложения, получим: В табл. 1.1 сведены значения переходной и импульсных характеристик по току и напряжению для некоторых цепей первого и второго порядка. 3. Импульсные характеристики электрических цепей Импульсной характеристикой цепи называют отношение реакции цепи на импульсное воздействие к площади этого воздействия при нулевых начальных условиях. По определению , где – реакция цепи на импульсное воздействие; – площадь импульса воздействия. По известной импульсной характеристике цепи можно найти реакцию цепи на заданное воздействие: . В качестве функции воздействия часто используется единичное импульсное воздействие называемое также дельта-функцией или функцией Дирака. Дельта-функция – это функция всюду равная нулю, кроме , а площадь ее равна единице ():
К понятию дельта-функция можно прийти, рассматривая предел прямоугольного импульса высотой и длительностью , когда (рис. 3):
Установим связь между передаточной функцией цепи и ее импульсной характеристикой, для чего используем операторный метод. По определению: Если воздействие (оригинал) рассматривать для наиболее общего случая в виде произведения площади импульса на дельта-функцию, т. е. в виде , то изображение этого воздействия согласно таблицы соответствий имеет вид:
Тогда с другой стороны, отношение преобразованной по Лапласу реакции цепи к величине площади импульса воздействия, представляет собой операторную импульсную характеристику цепи:
Следовательно, . Для нахождения импульсной характеристики цепи необходимо применить обратное преобразование Лапласа:
Обобщая формулы, получим связь между операторной передаточной функцией цепи и операторными переходной и импульсной характеристиками цепи: Таким образом, зная одну из характеристик цепи, можно определить любые другие. Произведем тождественное преобразование равенства, прибавив к средней части . Тогда будем иметь . Поскольку
Переходя в область оригиналов, получаем формулу, позволяющую определить импульсную характеристику цепи по известной ее переходной характеристике: Если , то . Обратное соотношение между указанными характеристиками имеет вид:
По передаточной функции легко установить наличие в составе функции слагаемого . Если степени числителя и знаменателя одинаковы, то рассматриваемое слагаемое будет присутствовать. Если же функция является правильной дробью, то этого слагаемого не будет. Пример: определить импульсные характеристики для напряжений и в последовательной -цепи, показанной на рисунке 4.
Определим : По таблице соответствий перейдем к оригиналу:
График этой функции показан на рисунке 5. | ||
.
.
.
, т.
е. фактически
.
представляет собой изображение
производной переходной характеристики,
то исходное равенство можно переписать
в виде:
.
.
.
.
.
.
цепи
связан: с изменением энергетического состояния... (+0),. Uc(-0) = Uc(+0). 3. Переходная
характеристика
электрической
цепи
это: Отклик на единичное ступенчатое...