Временными характеристиками цепи называются откликами на типовые составляющие исходного сигнала.
Переходная характеристика цепи - это отклик цепи с нулевыми начальными условиями на воздействие единичной функции (функции Хевисайда). Переходная характеристика определяется из операторной передаточной функции путем её деления на оператор , и нахождения оригинала от получившегося изображения с помощью обратного преобразования Лапласа через вычеты.
Импульсная характеристика цепи - это отклик цепи на воздействие дельта-функции . - бесконечно короткий по длительности и бесконечно большой по амплитуде импульс единичной площади. Импульсная характеристика определяется путем нахождения вычетов от передаточной функции цепи.
Временные характеристики цепи будем искать также операторным методом. Для этого нужно найти операторное изображение входного сигнала, умножить его на коэффициент передачи в операторной форме и от полученного выражения найти оригинал, т. е зная коэффициент передачи цепи, мы можем найти отклик на любое воздействие.
Нахождение импульсной характеристики сводится к нахождению реакции цепи на дельта-функцию. Известно, что для дельта-функции изображением является 1. Применяя обратное преобразование Лапласа, найдем импульсную характеристику.
.
Выделим целую часть для передаточной функции цепи, так как степени старших коэффициентов в числителе и в знаменателе равны:
Найдем особые точки передаточной функции, приравняв знаменатель к нулю.
Имеем всего одну особую точку, теперь берем вычет в этой особой точке.
Выражение для импульсной характеристики запишется следующим образом:
Аналогично найдем переходную характеристику цепи, зная, что для функции Хевисайда изображением является функция .
; , ;
Переходная и импульсная характеристики связаны между собой, так же как и входные воздействия :
Проверим выполнение предельных соотношений между частотными и временными характеристиками цепи, т.е. выполнение следующих условий:
Подставляем в систему конкретные выражения для характеристик цепей.
.
Как видим, условия выполняются, что говорит о правильности найденных формул.
Запишем конечные формулы для временных характеристик, учитывая нормировку
По вышеуказанным формулам построим графики этих функций.
фурье сигнал аналоговый линейный
Рисунок 2.5 - Импульсная характеристика аналогового фильтра-прототипа
Рисунок 2.6 - Переходная характеристика аналогового фильтра-прототипа
Временные характеристики существуют только при , так как отклики не могут опережать воздействия.
Наша цепь является дифференцирующей, поэтому переходная характеристика ведет себя так. Дифференцирующая цепь заостряет переходный процесс и пропускает передний фронт. За «бросок» отвечают прошедшие высокие частоты, а за завал - не прошедшие низкие частоты.
Статья в тему
Внедрение и использование GPS-трекеров в среде предприятия
Трекер - устройство приёма-передачи-записи данных для
спутникового мониторинга автомобилей, людей или других объектов, к которым оно
прикрепляется, использующее Global Positioning System для точного определения
местонахождения обьекта. Сферы применения GPS-мониторинга транспорта: скорая...
2.3 Общие свойства передаточной функции.
Критерий устойчивости дискретной цепи совпадает с критерием устойчивости аналоговой цепи: полюсы передаточной функции должны располагаться в левой полуплоскости комплексного переменного , что оответствует положению полюсов в пределах единичного круга плоскости
Передаточная функция цепи общего вида записывается, согласно (2.3), следующим образом:
где знаки слагаемых учитываются в коэффицентах a i , b j , при этом b 0 =1.
Свойства передаточной функции цепи общего вида удобно сформулировать в виде требований физической реализуемости рациональной функции от Z: любая рациональная функция от Z может быть реализована в виде передаточной функции устойчивой дискретной цепи с точностью до множителя H 0 ЧH Q , если эта функция удовлетворяет требованиям:
1. коэффициенты a i , b j - вещественные числа,
2. корни уравнения V(Z)=0, т.е. полюсы H(Z), расположены в пределах единичного круга плоскости Z.
Множитель H 0 ЧZ Q учитывает постоянное усиление сигнала H 0 и постоянный сдвиг сигнала по оси времени на величину QT.
2.4 Частотные характеристики.
Комплекс передаточной функции дискретной цепи
определяет частотные характиристики цепи
АЧХ, - ФЧХ.
На основании (2.6) комплекс передаточной функции общего вида запишется так
Отсюда формулы АЧХ и ФЧХ
Частотные характеристики дискретной цепи являются периодическими функциями. Период повторения равен частоте дискретезации w д.
Частотные характеристики принято нормировать по оси частот к частоте дискретезации
где W - нормированная частота.
В расчетах с приенением ЭВМ нормирование по частоте становится необходимостью.
Пример. Определить частотные характеристики цепи, передаточная функция которой
H(Z) = a 0 + a 1 ЧZ -1 .
Комплекс передаточной функции: H(jw) = a 0 + a 1 e -j w T .
с учетом нормирования по частоте: wT = 2p Ч W.
H(jw) = a 0 + a 1 e -j2 p W = a 0 + a 1 cos 2pW - ja 1 sin 2pW .
Формулы АЧХ и ФЧХ
H(W) =, j(W) = - arctg
.
графики АЧХ и ФЧХ для положительных значений a 0 и a 1 при условии a 0 > a 1 приведены на рис.(2.5,а,б.)
Логарифмический масштаб АЧХ - ослабление А:
; 
. (2.10)
Нули передаточной функции могут распологаться в любой точке плоскости Z. Если нули расположены в пределах единичного круга, то характеристики АЧХ и ФЧХ такой цепи связаны преобразованием Гильберта и однозначно могут быть определены одна через другую. Такая цепь называется цепью минимально-фазового типа. Если хотябы один нуль появляется за пределами единичного круга, то цепь относится к цепи нелинейно-фазового типа, для которого преобразование Гильберта неприменимо.
2.5 Импульсная характеристика. Свертка.
Передаточная функция характеризует цепь в частотной области. Во временной области цепь характеризуется импульсной характеристикой h(nT). Импульсная характеристика дискретной цепи представляет собой реакцию цепи на дискретную d - функцию. Импульсная харакетеристика и передаточная функция являются системными характеристиками и связаны между собой формулами Z - преобразования. Поэтому импульсную реакцию можно рассматривать как некоторый сигнал, а передаточную функцию H(Z) - Z - изображение этого сигнала.
Передаточная функция является основной характеристикой при проектировании, если нормы заданы относитеольно частотных характеритик системы. Соответственно, основной характеристикой является импульсная характеристика, если нормы заданы во временной обрасти.
Импульсную характеристику можно определить непосредственно по схеме как реакцию цепи на d - функцию, или решением разностного уравнения цепи, полагая, x(nT) = d (t).
Пример. Определить импульсную реакцию цепи, схема которой приведена на рис.2.6,б.
Разностное уравнение цепи y(nT)=0,4 x(nT-T) - 0,08 y(nT-T).
Решение разностного уравнения в численном виде при условии, что x(nT)=d(t)
n=0; y(0T) = 0,4 x(-T) - 0,08 y(-T) = 0;
n=1; y(1T) = 0,4 x(0T) - 0,08 y(0T) = 0,4;
n=2; y(2T) = 0,4 x(1T) - 0,08 y(1T) = -0,032;
n=3; y(3T) = 0,4 x(2T) - 0,08 y(2T) = 0,00256; и т.д. ...
Отсюда h(nT) = {0 ; 0,4 ; -0,032 ; 0.00256 ; ...}
Для устойчивой цепи отсчеты импульсной реакции с течением времени стремятся к нулю.
Импульсную характеристику можно определить по известной передаточной функции, применяя
а. обратное Z-преобразование,
б. теорему разложения,
в. теорему запаздывания к результатам деления полинома числителя на полином знаменателя.
Последний из перечисленных способов относится к численным методам решения поставленной задачи.
Пример. Определить импульсную характеристику цепи на рис.(2.6,б) по передаточной функции.
Здесь H(Z) =
.
Разделим числитель на знаменатель
Применяя к результату деления теорему запаздывания, получаем
h(nT) = {0 ; 0,4 ; -0,032 ; 0.00256 ; ...}
Сравнивая результат с расчетами по разностному уравнению в предидущем примере, можно убедиться в достоверности расчетных процедур.
Предлагается определить самостоятельно импульсную реакцию цепи на рис.(2.6,а), применяя последовательно оба рассмотренных метода.
В соответствии с определением передаточной функции, Z - изображение сигнала на выходе цепи можно определите как произведение Z - изображения сигнала на входе цепи и передаточной функции цепи:
Y(Z) = X(Z)ЧH(Z). (2.11)
Отсюда, по теореме о свертке, свертка входного сигнала с импульсной характеристикой дает сигнал на выходе цепи
y(nT) =x(kT)Чh(nT - kT) =h(kT)Чx(nT - kT). (2.12)
Определение выходного сигнала по формуле свертки находит применение не только в расчетных процедурах, но и в качестве алгоритма функционирования технических систем.
Определить сигнал на выходе цепи, схема которой приведена на рис.(2.6,б), если x(nT) = {1,0; 0,5}.
Здесь h(nT) = {0 ; 0,4 ; -0,032 ; 0,00256 ; ...}
Расчёт по (2.12)
n=0: y(0T) = h(0T)x(0T) = 0;
n=1: y(1T) = h(0T)x(1T) + h(1T) x(0T) = 0,4;
n=2: y(2T)= h(0T)x(2T) + h(1T) x(1T) + h(2T) x(0T) = 0,168;
Таким образом y(nT) = { 0; 0,4; 0,168; ... }.
В технических системах вместо линейной свертки (2.12) чаще применяется круговая или циклическая свертка.
Студент группы 220352 Чернышёв Д. А. Справка- отчет о патентном и научно- техническом исследовании Тема выпускной квалификационной работы: телевизионный приёмник с цифровой обработкой сигналов. Начало поиска 2. 02. 99. Окончание поиска 25.03.99 Предмет поиска Страна, Индекс (МКИ, НКИ) № ...
Несущими и амплитудно-фазовая модуляция с одной боковой полосой (АФМ-ОБП). 3. Выбор длительности и количества элементарных сигналов, используемых для формирования выходного сигнала В реальных каналах связи для передачи сигналов по частотно ограниченному каналу используется сигнал вида, но он бесконечен во времени, поэтому его сглаживают по косинусоидальному закону. , где - ...
В радиотехнических цепях сопротивления нагрузки обычно велики и не влияют на четырехполюсник либо сопротивление нагрузки стандартно и уже учтено в схеме четырехполюсника.
Тогда четырехполюсник может характеризоваться одним параметром, устанавливающим связь между выходным и входным напряжениями при пренебрежении током нагрузок. При синусоидальном сигнале такой характеристикой является передаточная функция цепи (коэффициент передачи), равная отношению комплексной амплитуды сигнала на выходе к комплексной амплитуде сигнала на входе: , где – фазово-частотная характеристика, - амплитудно-частотная характеристика цепи.
Передаточная функция линейной цепи вследствие справедливости принципа суперпозиции позволяет анализировать прохождение сложного сигнала через цепь, разлагая его на синусоидальные составляющие. Другой возможностью использования принципа суперпозиции является разложение сигнала на сумму сдвинутых во времени d-функций d(t). Реакцией цепи на действие сигнала в виде d-функций является импульсная характеристика g(t), т. е. это сигнал на выходе, если сигнал на входе есть d-функция. при . При этом g(t) = 0 при t < 0 – выходной сигнал не может возникнуть ранее момента появления входного сигнала.
Экспериментально импульсную характеристику можно определить подавая на вход короткий импульс площадью единица и уменьшая длительность импульса при сохранении площади до тех пор, пока сигнал на выходе перестанет изменяться. Это и будет импульсная характеристика цепи.
Так как независимый параметр, связывающий напряжения на выходе и входе цепи, может быть только один, то между импульсной характеристикой и передаточной функцией имеется связь.
Пусть на вход подается сигнал в виде d-функции со спектральной плотностью . На выходе цепи будет импульсная характеристика , при этом все спектральные составляющие входного сигнала умножаются на передаточную функцию соответствующей частоты: . Таким образом, импульсная характеристика цепи и передаточная функция связаны преобразованием Фурье:
Иногда вводят так называемую переходную характеристику цепи h(t), являющуюся откликом на сигнал, называемый единичным скачком:
I(t) = 1 при t ³ 0
I(t) = 0 при t < 0
при этом , h(t) = 0 при t < 0.
Ввиду связи между передаточной функцией и импульсной характеристикой, на передаточную функцию накладываются ограничения:
· Условие, что g(t) должна быть вещественной, приводит к требованию, что , т. е. модуль передаточной функции (АЧХ) есть четная, а фазовый угол (ФЧХ) – нечетная функция частоты.
· Условие, что при t < 0, g(t) = 0 приводит к критерию Пэли-Винера: .
Например, рассмотрим идеальный фильтр низких частот ФНЧ с передаточной функцией.
Здесь интеграл в критерии Пэли-Винера расходится, как и для любой , обращающейся в нуль на конечном отрезке оси частот.
Импульсная характеристика такого фильтра есть
g(t) не равна нулю при t < 0, тем сильнее, чем меньше время задержки , которое определяет ее угол наклона . Это указывает на нереализуемость идеального ФНЧ, имеющего близкое приближение при достаточно больших .
Импульсная переходная функция (весовая функция , импульсная характеристика ) - выходной сигнал динамической системы как реакция на входной сигнал в виде дельта-функции Дирака . В цифровых системах входной сигнал представляет собой простой импульс минимальной ширины (равной периоду дискретизации для дискретных систем) и максимальной амплитуды. В применении к фильтрации сигнала называется также ядром фильтра . Находит широкое применение в теории управления , обработке сигналов и изображений , теории связи и других областях инженерного дела.
Определение [ | ]
Импульсной характеристикой системы называется её реакция на единичный импульс при нулевых начальных условиях.
Свойства [ | ]
Применение [ | ]
Анализ систем [ | ]
Восстановление частотной характеристики [ | ]
Важным свойством импульсной характеристики является тот факт, что на её основе может быть получена комплексная частотная характеристика , определяемая как отношение комплексного спектра сигнала на выходе системы к комплексному спектру входного сигнала.
Комплексная частотная характеристика (КЧХ) является аналитическим выражением комплексной функции. КЧХ строится на комплексной плоскости и представляет собой кривую траектории конца вектора в рабочем диапазоне изменения частот, называемую годографом КЧХ. Для построения КЧХ обычно требуется 5-8 точек в рабочем диапазоне частот: от минимально реализуемой частоты до частоты среза (частоты окончания эксперимента). КЧХ, так же, как и временная характеристика будет давать полную информацию о свойствах линейных динамических систем.
Частотная характеристика фильтра определяется как преобразование Фурье (дискретное преобразование Фурье в случае цифрового сигнала) от импульсной характеристики.
H (j ω) = ∫ − ∞ + ∞ h (τ) e − j ω τ d τ {\displaystyle H(j\omega)=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }h(\tau)e^{-j\omega \tau }\,d\tau }Эта динамическая характеристика применяется для описания одноканальных систем
с нулевыми начальными условиями
Переходная характеристика h(t) - это реакция системы на входное единичное ступенчатое воздействие при нулевых начальных условиях.
Момент возникновения входного воздействия
Рис.2.4. Переходная характеристика системы
Примеp 2.4:
Переходные характеристики для различных значений активного сопротивления в электрической цепи:
 | ||
Чтобы определить переходную характеристику аналитически, следует решить дифференциальное уравнение при нулевых начальных условиях и u(t)=1(t).
Для реальной системы переходную характеристику можно получить экспериментальным путем; при этом на вход системы следует подавать ступенчатое воздействие и фиксировать реакцию на выходе. Если ступенчатое воздействие отлично от единицы, то характеристику на выходе следует разделить на величину входного воздействия.
Зная переходную характеристику, можно определить реакцию системы на произвольное входное воздействие с помощью интеграла свертки
С помощью дельта-функции моделируется реальное входное воздействие типа удара.
Рис.2.5. Импульсная характеристика системы
Примеp 2.5:
Импульсные характеристики для различных значений активного сопротивления в электрической цепи:
Переходная функция и импульсная функция однозначно связаны между собой соотношениями
Переходная матрица - это решение матричного дифференциального уравнения
Зная переходную матрицу, можно определить реакцию системы
на произвольное входное воздействие при любых начальных условиях x(0) по выражению
Если система имеет нулевые начальные условия x(0)=0 , то
 ,
| (2.17) |
Для линейных систем с постоянными параметрами переходная матрица Ф(t) представляет собой матричную экспоненту
При небольших размерах или простой структуре матрицы A выражение (2.20) может быть использовано для точного представления переходной матрицы с помощью элементарных функций. В случае большой размерности матрицы A следует использовать существующие программы для вычисления матричного экспоненциала.
Передаточная функция
Наряду с обыкновенными дифференциальными уравнениями в теории автоматического управления используются различные их преобразования. Для линейных систем эти уравнения удобнее записывать в символической форме с использованием так называемого оператора дифференцирования
что позволяет преобразовывать дифференциальные уравнения как алгебраические и ввести новую динамическую характеристику - передаточную функцию.
Рассмотрим этот переход для многоканальных систем вида (2.6)
Запишем уравнение состояния в символической форме:
px = Ax + Bu ,
что позволяет определить вектор состояния
Она представляет собой матрицу со следующими компонентами:
 | (2.27) |
где 
- скалярные передаточные функции
, которые представляют собой отношение выходной величины к входной в символической форме при нулевых начальных условиях
Собственными передаточными функциями
i
-го канала называются компоненты передаточной матрицы 
, которые находятся на главной диагонали. Составляющие, расположенные выше или ниже главной диагонали, называются передаточными функциями перекрестных связей
между каналами.
Обратная матрица находится по выражению
Пример 2.6.
Определить передаточную матрицу для объекта
Воспользуемся выражением для передаточной матрицы (2.27) и найдем предварительно обратную матрицу (2.29). Здесь
Транспонированная матрица имеет вид
a det(pI-A) = p -2p+1, .
где - транспонированная матрица. В результате получим следующую обратную матрицу:
и передаточную матрицу объекта
Чаще всего передаточные функции применяются для описания одноканальных систем вида
где - характеристический полином.
Передаточные функции принято записывать в стандартной форме:
 ,
| (2.32) |
где - коэффициент передачи;
Передаточную матрицу (передаточную функцию) можно также определить с помощью изображений Лапласа или Карсона-Хевисайда. Если подвергнуть одному из этих преобразований обе части дифференциального уравнения и найти соотношения между входными и выходными величинами при нулевых начальных условиях, то получим ту же самую передаточную матрицу (2.26) или функцию (2.31).
Для того, чтобы в дальнейшем различать преобразования дифференциальных уравнений, будем использовать следующие обозначения:
Оператор дифференцирования;
Оператор преобразования Лапласа.
Получив одну из динамических характеристик объекта, можно определить все остальные. Переход от дифференциальных уравнений к передаточным функциям и обратно осуществляется с помощью оператора дифференцирования p.
Рассмотрим взаимосвязь между переходными характеристиками и передаточной функцией. Выходная переменная находится через импульсную функцию в соответствии с выражением (2.10),
Подвергнем его преобразованию Лапласа,
,
и получим y(s) = g(s)u(s). Отсюда определим импульсную функцию:
 | (2.33) |
Таким образом, передаточная функция - есть преобразование по Лапласу от импульсной функции.
Пример 2.7.
Определить передаточную функцию объекта, дифференциальное уравнение которого имеет вид
Используя оператор дифференцирования d/dt = p, запишем уравнение объекта в символической форме
на основании которого определим искомую передаточную функцию объекта
Модальные характеристики
Модальные характеристики соответствуют свободной составляющей движения системы (2.6) или, другими словами, отражают свойства автономной системы типа (2.12)
Система уравнений (2.36) будет иметь ненулевое решение относительно , если
 .
| (2.37) |
Уравнение (2.37) называется характеристическим и имеет n -корней , которые называются собственными значениями матрицы A . При подстановке собственных значений в (2.37) получим
.
где - собственные векторы,
Совокупность собственных значений и собственных векторов представляет собой модальные характеристики системы .
Для (2.34) могут существовать лишь следующие экспоненциальные решения
Для получения характеристического уравнения системы достаточно общий знаменатель передаточной матрицы (передаточной функции) приравнять нулю (2.29).
Частотные характеристики
Если на вход объекта подавать периодический сигнал заданной амплитуды и частоты, то на выходе будет также периодический сигнал той же частоты, но в общем случае другой амплитуды со сдвигом по фазе. Взаимосвязь между параметрами периодических сигналов на входе и выходе объекта определяют частотные характеристики . Чаще всего их используют для описания одноканальных систем:
и представлена в виде
  .
| (2.42) |
Составляющие обобщенной частотной характеристики имеют самостоятельное значение и следующие названия:
Частотная характеристика по выражению (2.42) может быть построена на комплексной плоскости. В этом случае конец вектора, соответствующий комплексному числу , при изменении от 0 до прочерчивает на комплексной плоскости кривую, которая называется амплитудно-фазовой характеристикой (АФХ).
Рис.2.6. Пример амплитудно-фазовой характеристики системы
Фазо-частотная характеристика (ФЧХ) - графическое отображение зависимости сдвига по фазе между входным и выходным сигналами в зависимости от частоты,
Для определения числитель и знаменатель W(j ) разлагаются на множители не выше второго порядка
,
тогда 
, где знак "+" относится к i=1,2,...,l
(числителю передаточной фунции), знак "-" -к i=l+1,...,L
(знаменателя передаточной функции).
Каждое из слагаемых определяется выражением
Наряду с АФХ отдельно строят и все остальные частотные характеристики. Так АЧХ показывает, как пропускает звено сигнал различной частоты; причем оценкой пропускания является отношение амплитуд выходного и входного сигнала. ФЧХ показывает фазовые сдвиги, вносимые системой на различных частотах.
Помимо рассмотренных частотных характеристик в теории автоматического управления используются логарифмические частотные характеристики . Удобство работы с ними объясняется тем, что операции умножения и деления заменяются на операции сложения и вычитания. Построенная в логарифмическом масштабе АЧХ, называется логарифмической амплитудной частотной характеристикой (ЛАЧХ)
| , | (2.43) |
Эта величина выражается в децибелах (дб). При изображении ЛАЧХ удобнее по оси абсцисс откладывать частоту в логарифмическом масштабе, то есть , выраженную в декадах (дек).
Рис.2.7. Пример логарифмической амплитудной частотной характеристики
В логарифмическом масштабе может быть изображена также и ФЧХ:
Рис.2.8. Пример логарифмической фазовой частотной характеристики
Пример 2.8.
ЛФХ, реальная и асимптотическая ЛАЧХ системы, передаточная функция которой имеет вид:
 .
| (2.44) |
.
Рис. 2.9. Реальная и асимптотическая ЛАЧХ системы
.
Рис. 2.10. ЛФХ системы
СТРУКТУРНЫЙ МЕТОД
3.1. Введение
3.2. Пропорциональное звено (усилительное, безынерционное)
3.3. Дифференцирующее звено
3.4. Интегрирующее звено
3.5. Апериодическое звено
3.6. Форсирующее звено (пропорционально - дифференцирующее)
3.7. Звено 2-го порядка
3.8. Структурные преобразования
3.8.1. Последовательное соединение звеньев
3.8.2. Параллельное соединение звеньев
3.8.3. Обратная связь
3.8.4. Правило переноса
3.9. Переход от передаточных функций к уравнениям состояния с пользованием структурных схем
3.10. Область применимости структурного метода
Введение
Для расчета различных систем автоматического управления их обычно разбивают на отдельные элементы, динамическими характеристиками которых являются дифференциальные уравнения не выше второго порядка. Причем различные по своей физической природе элементы могут описываться одинаковыми дифференциальными уравнениями, поэтому их относят к определенным классам, называемым типовыми звеньями .
Изображение системы в виде совокупности типовых звеньев с указанием связей между ними называется структурной схемой. Она может быть получена как на основе дифференциальных уравнений (раздел 2), так и передаточных функций. Данный способ и составляет суть структурного метода.
Предварительно рассмотрим подробнее типовые звенья, из которых состоят системы автоматического управления.
Пропорциональное звено
(усилительное, безынерционное)
Пропорциональным называется звено, которое описывается уравнением
а соответствующая ей структурная схема приведена на рис. 3.1.
Импульсная функция имеет вид:
g(t) = k .
Модальные характеристики (собственные значения и собственные векторы) для пропорционального звена отсутствуют.
Заменив в передаточной функции p на j получим следующие частотные характеристики:
Амплитудная частотная характеристика (АЧХ) определяется соотношением:
Это означает, что амплитуда периодического входного сигнала усиливается в k - раз, а фазовый сдвиг отсутствует.
Дифференцирующее звено
Дифференцирующим называется звено, которое описывается дифференциальным уравнением:
| y = k . | (3.6) |
Его передаточная функция имеет вид:
Получим теперь частотные характеристики звена.
АФХ : W(j ) = j k , совпадает с положительной мнимой полуосью на комплексной плоскости;
ВЧХ : R() = 0 ,
МЧХ : I() = k ,
АЧХ : ,
ФЧХ : ,то есть для всех частот звено вносит постоянный фазовый сдвиг;
Интегрирующее звено
Это звено, уравнение которого имеет вид:
а затем к его передаточной функции
Определим частотные характеристики интегрирующего звена.
 | АФХ:  ;
ВЧХ: ;
МЧХ:  ;
она имеет вид прямой на плоскости (рис.3.9). |
Характеристическое уравнение
A(p) = p = 0
имеет единственный корень, , который представляет собой модальную характеристику интегрирующего звена.
Апериодическое звено
Апериодическим называется звено, дифференциальное уравнение которого имеет вид
где , - коэффициент передачи звена.
Заменив в (3.18) d/dt на p , перейдем к символической записи дифференциального уравнения,
| (Tp+1)y = ku, | (3.19) |
и определим передаточную функцию апериодического звена:)=20lg(k).